§ 94. Приложения принципа минимальной работы. Прямоугольные пластинки

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку. Ранее (стр. 70) было показано, что, используя тригонометрические ряды, можно удовлетворить граничным условиям на двух сторонах прямоугольной пластинки. Решения, полученные таким образом, могут представить практический интерес, если их использовать для пластинки, ширина которой мала по сравнению с длиной. Если оба размера пластинки имеют один и тот же порядок, следует рассматривать условия по всем четырем сторонам. При решении задач такого рода иногда может успешно применяться принцип минимальной работы.

Рассмотрим случай прямоугольной пластинки в условиях растяжения, когда растягивающие усилия на концах распределены по параболическому закону (рис. 132), Граничные условия в этом случае имеют вид: при

при

Рис. 132.

Энергия деформации для пластинки единичной толщины, согласно уравнению (133), выражается формулой

Следует отметить, что в случае односвязной границы, которую мы имеем в данном случае, распределение напряжений не зависит от упругих констант материала (см. стр. 148)], Поэтому дальнейшие вычисления можно упростить, положив коэффициент Пуассона равным нулю. Тогда, введя функцию напряжений и подставляя в (б) равенства

получаем

Корректное выражение функции напряжений удовлетворяет условиям (а) и доставляет минимум энергии деформации (в).

Если для определения минимума (в) использовать вариационное исчисление, то мы придем к уравнению (30) для функции напряжений Вместо этого используем следующую процедуру приближенного решения задачи. Представим функцию напряжений в виде ряда

такого, что удовлетворяются граничные условия (а). Здесь постоянные, которые подлежат определению. Значения этих постоянных можно найти из условий

которые являются линейными уравнениями относительно

С помощью надлежащего выбора функций мы можем получить удовлетворительное приближенное решение, удержав в ряду (г) лишь несколько членов. В рассматриваемом случае граничные условия (а) удовлетворяются, если положить

поскольку тогда

Остальные функции следует выбрать таким образом, чтобы соответствующие им напряжения на границе были равны нулю. Чтобы добиться этого, возьмем в качестве множителя во всех функциях выражение вторая производная по х от этого выражения на сторонах обращается в нуль, тогда как вторая производная по у обращается в нуль на сторонах . Вторая производная равна нулю по всем четырем сторонам пластинки. Отсюда функцию напряжений можно взять в виде

В этом ряду сохранены лишь четные степени х и у, поскольку распределение напряжений симметрично относительно осей х и у. Ограничиваясь одним членом в последних скобках, имеем

Первое из уравнений (д) тогда принимает вид

Для квадратной пластинки находим

и все компоненты напряжения определяются по формулам

Распределение по поперечному сечению представлено кривой (рис. 133).

Чтобы получить более точное приближение, возьмем теперь в ряду (е) три члена. Тогда уравнения (д) для определения постоянных будут такими:

Для квадратной пластинки эти уравнения дают

Распределение по поперечному сечению определяется зависимостью

Рис. 133.

На рис. 133 это распределение напряжений показано кривой

С увеличением длины пластинки распределение напряжения по поперечному сечению становится все более и более однородным. Если мы положим, например, то из уравнения (ж) найдем

Соответствующие значения по поперечному сечению характеризуются числами

Это распределение напряжений представлено на рис. 133 штриховой линией. Мы видим, что в этом случае отклонение от среднего значения очень мало.

Чтобы исследовать другие симметричные распределения напряжений по граням нам нужно лишь изменить форму функции в выражении (е). При этом в уравнениях (ж) потребуется изменить одни только правые части.

В качестве примера распределения напряжений, несимметричного относительно оси х, рассмотрим случай изгиба, показанный на рис. 1341), в котором приложенные по концам усилия изменяются по закону (кривая б на рис. 134, б). Очевидно, распределение напряжений будет несимметричным относительно оси х и симметричным относительно оси у.

Рис. 134.

Эти условия удовлетворяются, если принять функцию напряжений в форме

Первый член, как и раньше, удовлетворяет граничным условиям для . Подставляя равенство (и) с четырьмя коэффициентами в уравнении (д), для случая квадратной пластинки находим

где Распределение напряжения по среднему сечению близко к линейному. На рис. 134, б оно показано кривой а.