§ 118. Кручение стержня, одно из поперечных сечений которого остается плоским

При рассмотрении задачи о кручении всегда предполагалось, что крутящий момент прикладывается с помощью касательных напряжений, определенным образом распределенных по концам стержня. Это распределение получается из решения уравнения (150) при граничном условии (152). Если распределение напряжений по концам стержня отлично от получаемого таким образом, то в поле напряжений возникают местные отклонения, и решение уравнений (150) и (152) будет сохранять достаточную точность лишь в областях, находящихся на достаточном удалении от концов стержня.

Подобные отклонения встречаются и в тех случаях, когда не допускается депланация в силу каких-либо ограничений поперечного сечения скручиваемого стержня. Такого рода задачи иногда встречаются в инженерном деле. Простой пример приведен на рис. 177. Из симметрии можно сделать вывод, что среднее поперечное сечение стержня в процессе кручения остается плоским. Следовательно, распределение напряжений вблизи этого поперечного сечения должно отличаться от того, которое получено выше для стержня прямоугольного поперечного сечения (§ 109). При исследовании этих напряжений рассмотрим сначала случай очень узкого прямоугольного сечения и предположим, что размер а велик по сравнению с размером Если депланация поперечных сечений не ограничена, то, согласно § 108, напряжения равны

и соответствующие им перемещения, согласно формулам (а), (б) и (г) из § 104,

определяются уравнениями

Чтобы предотвратить депланацию поперечных сечений, представленную перемещением по поперечным сечениям нужно приложить нормальные напряжения Мы получим приближенное решение, если предположим, что пропорционально и что это напряжение убывает с увеличением расстояния от среднего поперечного сечения. Эти допущения удовлетворяются, если принять

где — коэффициент, подлежащий определению. Благодаря множителю напряжение убывает с увеличением z и на некотором расстоянии, зависящем от величины становится пренебрежимо малым.

Рис. 177.

Остальные компоненты напряжений требуется теперь выбрать таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (123) и граничные условия. Легко показать, что эти требования будут выполнены, если принять

При больших значениях это распределение напряжений приближается к напряжениям (а) для простого кручения. Компонента напряжения обращается в нуль на границах компоненты равны нулю на границах Следовательно, граничные условия удовлетворены, и боковая поверхность стержня свободна от усилий.

Для определения множителя рассмотрим энергию деформации стержня и определим так, чтобы сделать эту энергию минимальной. Используя формулу (131), находим

Подставляя сюда компоненты, определяемые по формулам (г), и замечая, что для длинного стержня мы можем с достаточной точностью положить

получаем

Условие минимума энергии дает нам следующее уравнение для определения :

которое для случая узкого прямоугольника приближенно приводится к виду

Подставляя это значение в (в) и (г), находим распределение напряжений для случая, когда среднее поперечное сечение стержня остается плоским.

Для определения угла закручивания положим потенциальную энергию (д) равной работе, совершенной крутящим моментом

откуда угол закручивания оказывается равным

Сравнивая этот результат с уравнением (163), приходим к выводу, что, предотвращая депланацию поперечного сечения, мы увеличиваем жесткость стержня на кручение. Влияние местного отклонения в распределении напряжений на значение получается таким же, как и влияние уменьшения длины стержня на величину

Если принять , это уменьшение составит 0,425а. Мы видим, что эффект закрепления среднего поперечного сечения мало сказывается на угле закручивания если размер а мал по сравнению с

Скручивание стержня эллиптического поперечного сечения можно рассмотреть аналогичным образом. Большой эффект оказывает закрепление среднего сечения при кручении стержня двутаврового сечения. Определение угла закручивания в этом случае с учетом изгиба балок в процессе кручения было произведено приближенным методом