§ 134. Трехмерная задача о вращающемся диске

В предшествующих рассуждениях предполагалось (§ 32), что напряжения по толщине диска не меняются. Рассмотрим теперь ту же задачу, предполагая лишь, что распределение напряжений симметрично по отношению к оси вращения. Дифференциальные уравнения равновесйя получаются в этом случае с помощью введения в уравнения (188) центробежной силы. Тогда

где — масса единицы объема и — угловая скорость диска.

Уравнения совместности также следует изменить. Вместо системы (126) будем иметь три уравнения типа (ж) и три уравнения типа (и) из § 85.

Подставляя в эти уравнения компоненты объемной силы

находим, что последние три уравнения в системе (126), содержащие компоненты касательного напряжения, остаются без изменения, тогда как первые три уравнения принимают вид

Начнем с получения частного решения уравнений (199), удовлетворяющего условиям совместности. На это решение мы наложим решения в форме полиномов (194) и (195) и подберем постоянные в этих полиномах таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям задачи. Примем частное решение в следующем виде:

Можно убедиться, что эти выражения удовлетворяют второму из уравнений равновесия. Они удовлетворяют также уравнениям совместности, которые со держат компоненты касательного напряжения. Остается определить постоянные А, В, С, D таким образом, чтобы удовлетворить четырем оставшимся уравнениям, а именно, первому из уравнений (199) и уравнениям (б). Подставляя в эти уравнения выражения (в), находим

Частное решение при этом принимает вид

Это решение можно использовать при исследовании осесимметричных напряжений в любом теле вращения, вращающемся относительно оси.

В случае круглого диска постоянной толщины мы налагаем на решение (200) распределение напряжений, полученное из функции напряжений в форме полинома пятой степени (см. уравнения (194) и (195))

Далее из равенств (189) находим

Добавляя эти напряжения к напряжениям, определяемым по формулам (200), и определяя постоянные таким образом, чтобы обратить в нуль результирующие напряжений получаем

Чтобы снять результирующее радиальное сжатие вдоль границы, т. е. добиться выполнения условия

наложим на напряжения (е) однородное радиальное растяжение величиной

Тогда полные напряжения определятся формулами

Сравнивая эти выражения с предыдущим решением (54), мы обнаруживаем дополнительные вдены о множителем . В случае тонкого диска соответствующие напряжения, малы, а их результирующая по толщине ддска равна нулю. Если контур диска свободен от внешних сил, решение представляет напряженное состояние в частях диска на некотором расстоянии от края.

Распределение напряжений во вращающемся диске виде плоского эллипсоида вращения исследовал Кри.