§ 85. Условия совместности

Следует заметить, что шесть компонент деформации в каждой точке полностью определяются тремя функциями представляющими компоненты перемещения. Следовательно, компоненты деформации как функции х, у, z не могут быть

произвольными, а должны подчиняться условиям, следующим из соотношений (2).

Таким образом, согласно соотношениям (2), имеем

откуда

Два других соотношения такого рода можно получить с помощью циклической перестановки символов х, у, z.

Аналогично, учитывая выражения для производных

находим, что

Эти два соотношения вида (б) можно получить с помощью перестановки символов х, у, z. Таким образом, мы приходим к шести дифференциальным соотношениям между компонентами деформаций, которые должны удовлетворяться в силу формул (2):

Эти дифференциальные соотношения называются условиями совместности.

Используя закон Гука (3), можно преобразовать условия совместности (125) в зависимости между компонентами напряжения. Возьмем, например, условие

Из формул (3) и (4), используя обозначения (7), получаем

Подставляя эти зависимости в соотношение (в), находим

Правая часть этого уравнения может быть преобразована при помощи уравнений равновесия (123). Из этих уравнений имеем

Дифференцируя первое из этих уравнений по а второе по и складывая их друг с другом, получаем

или, используя первое из уравнений (123), имеем

Подставляя это выражение в соотношение (г) и используя для упрощения записи символ

находим

Два аналогичных соотношения можно получить из двух других условий совместности вида (в).

Складывая все три соотношения вида (д), находим

подставив полученное выражение для в соотношение (д), будем иметь

Мы можем получить три соотношения такого вида, соответствующие первым трем соотношениям (125). Подобным образом остальные три условия (125) можно преобразовать к соотношениям следующего вида:

Если объемные силы отсутствуют или постоянны, соотношения (ж) и (и) принимают вид

Мы видим, что в дополнение к уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124) компоненты напряжений в изотропном теле должны удовлетворять шести условиям совместности (ж) и (и) или шести условиям (126). Этой системы уравнений в общем случае достаточно для однозначного определения компонент напряжения (см. § 96).

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9.