§ 5. Трехмерные задачи

Для решений трехмерных задач часто используют конечный элемент в виде тетраэдра (рис. 9). Компоненты перемещения в таком элементе выражаются уравнениями вида

Такие же формулы используются для компонент перемещения . В результате можно представить перемещение в пределах каждого тетраэдра, на которые разбито тело, через соответствующие перемещения его вершин (узловых) точек в форме

где

V представляет объем тетраэдра, определяемый обычным

способом, и формулы для остальных коэффициентов получаются с помощью циклической перестановки индексов. Вектор перемещений каждого элемента имеет двенадцать компонент.

Рис. 9.

Зависимость между деформациями и перемещениями, в соответствии с (6) (глава 1), имеет вид

где матрица получается из четырех подматриц вида

Зависимость между напряжениями и деформациями (ср. с (к) § 2) имеет вид

где - матрица упругих коэффициентов

Подматрица матрицы жесткости выражается в виде, аналогичном (9),

В остальном решение трехмерных задач ничем не отличается от задач двумерных.

В целом решение трехмерных задач еще вызывает определенные трудности из-за высокого порядка получающейся системы линейных уравнений, а также недостаточного порядка аппроксимации.