§ 31. Перемещения при симметричных полях напряжений
Подставляя в первое уравнение (51) компоненты напряжения из уравнений (42), находим
После интегрирования получаем
где 
-функция лишь одной переменной 0. Из второго уравнения (51), используя (49), находим
Отсюда после интегрирования получаем
где 
— функция лишь одной переменной 
Подставляя выражения (а) и (б) в (50) и замечая, что 
равна нулю, поскольку равно нулю 
находим
откуда
где 
— постоянные, которые должны определяться из условий закрепления криволинейного стержня или кольца.
Подставляя выражения (г) в (а) и (б), получаем следующие формулы для перемещений:
где для каждого частного случая следует подставлять свои значения постоянных А, В и С. Рассмотрим, например, чистый изгиб. Считая центр тяжести поперечного сечения, от которого отсчитывается угол 
(рис. 42), а также элемент радиуса в этой точке жестко фиксированными, можно представить условия закрепления бруса в виде
Подставляя сюда выражения для перемещений (52), получаем следующие уравнения для определения постоянных интегрирования 
и К
Отсюда следует, что 
и для перемещения 
получаем
Это означает, что перемещение любого поперечного сечения складывается из поступательного перемещения —К 
одинакового для всех точек сечения, и поворота поперечного сечения на угол 
относительно центра кривизны О (рис. 42). Мы видим, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и предполагается в элементарной теории изгиба криволинейных стержней.
При исследовании симметричного распределения напряжений в сплошном кольце (стр. 86) постоянная В в общем решении (42) принималась равной нулю, и таким путем мы пришли к задаче Ламе. Теперь же, после получения выражений (52) для перемещений, становится понятным, какой смысл имеет предположение о том, что постоянная В равна нулю. Постоянная В является сомножителем в члене 
входящем в выражение для перемещения 
Этот член неоднозначен; он меняется при
увеличении 
на 
т. е. при возвращении к данной точке после полного оборота по кольцу. Такое многозначное выражение для перемещения физически невозможно в сплошном кольце, поэтому для данного случая нам следует положить 
в общем решении (42).
Кольцо служит примером многосвязного тела, т. е. такого тела, в котором некоторые сечения можно провести без разделения тела на две части. Для полного определения поля напряжений в таких телах недостаточно задания граничных условий в напряжениях, и должны рассматриваться дополнительные уравнения, представляющие собой условия однозначности перемещений (см. §§ 34, 43)).
Рис. 45.
Физический смысл многозначных решений можно разъяснить, рассматривая начальные напряжения в многосвязном теле. Если вырезать часть кольца двумя смежными поперечными сечениями (рис. 45) и соединить концы кольца с помощью сварки или каким-либо иным методом, то получится кольцо с начальными напряжениями, т. е. в кольце возникнут напряжения, несмотря на отсутствие внешней нагрузки. Если а — малый угол, определяющий вырезанную часть кольца, то кольцевое перемещение, необходимое для того, чтобы соединить вместе концы кольца, равно
То же перемещение, получаемое из уравнения (63), если положить 
составляет
Из (д) и (е) получаем
Постоянная В, входящая в многозначный член выражения для перемещения (53), имеет теперь определенное значение в зависимости от способа, с помощью которого в кольце образуются начальные напряжения. Подставляя (ж) в уравнение (е) из § 29, находим, что изгибающий момент, необходимый для того, чтобы свести вместе концы кольца (рис. 45), равен
Отсюда, используя решение (47) для случая чистого изгиба, легко вычислить начальные напряжения в кольце.
