§ 9. Плоская деформация
Подобные упрощения возможны и в другом предельном случае, когда размер тела в направлении оси z очень велик. Если длинное цилиндрическое или призматическое тело нагружается силами, которые перпендикулярны продольной оси тела и не меняются по его длине, можно считать, что все поперечные сечения находятся в одних и тех же условиях. Проще всего для начала предположить, что концевые сечения ограничены фиксированными гладкими абсолютно жесткими плоскостями, которые препятствуют перемещениям в продольном направлении. Эффект удаления этих плоскостей мы разберем позже. Поскольку нет
осевых перемещений на концах, а в силу симметрии их нет и в среднем сечении, можно предположить, что то же самое справедливо и для любого поперечного сечения.
Существует много важных задач такого рода; например, для подпорной стенки под действием поперечного давления (рис. 9), трубопровода или туннеля (рис. 10), цилиндрической трубы под действием внутреннего давления, цилиндрического ролика, сжимаемого силами в диаметральной плоскости, как это имеет место в роликоподшипнике (рис. 11).
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. 11.
В любом случае, конечно, нагрузка не должна изменяться по длине тела. Поскольку в каждом поперечном сечении условия одинаковы, достаточно рассмотреть тонкий слой между двумя сечениями, расстояние между которыми равно единице. Компоненты перемещений и и 
являются функциями х и у, но не зависят от продольной координаты 
Поскольку продольные перемещения 
равны нулю, уравнения (2) дают
Продольные нормальные напряжения 
можно выразить из уравнений (3) через а и 
с помощью закона Гука. В силу того, что 
получаем
или
Эти нормальные напряжения действуют по всем поперечным сечениям, включая концевые, где они представляют собой силы,
будут равны нулю, а согласно уравнению (б) напряжения 
можно определить, зная 
Следовательно, задача о плоской деформации, как и задача о плоском напряженном состоянии, сводится к определению компонент напряжений 
как функций 
.
