§ 9. Кручение круглых валов переменного диаметра

В этом случае, как мы видели (стр. 348), необходимо найти функцию напряжений, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

в каждой точке осевого сечения вала (рис. 24) и постоянна вдоль границы этого сечения.

Рис. 24.

Рис. 25.

Точное решение задачи можно получить лишь в нескольких простых случаях; на практике обычно приходится прибегать к приближенным методам.

Используя метод конечных разностей, примем квадратную сетку. При рассмотрении узловой точки О (рис. 24) мы можем определить вторые производные в уравнении (40) тем же путем, что и раньше. Для первой производной можно принять выражение

Тогда конечно-разностное уравнение, соответствующее уравнению (40), примет вид

Задача состоит в отыскании такого набора значений чтобы уравнения (41) удовлетворялись для каждой узловой точки сетки, а на границе функция равнялась заданному постоянному значению. В этой задаче можно либо непосредственно решить

уравнения (41), либо пользоваться одним из итерационных методов. В качестве примера рассмотрим случай, показанный на рис. 25. В области быстрого изменения диаметра функция напряжений будет иметь сложный вид, но на значительном расстоянии от галтели с достаточной точностью будет справедливо решение Кулона, и функция напряжений не будет зависеть от Уравнение (40) для таких точек принимает вид

Оно имеет общее решение

и соответствующие напряжения равны (см. стр. 348)

Сравнивая этот результате решением Кулона, находим где — приложенный к валу крутящий момент, а -полярный момент инерции вала. Отбросив в общем решении постоянную В, не оказывающую влияния на распределение напряжений, получаем выражения для функции напряжений на достаточно больших расстояниях от галтели:

Эти выражения обращаются в нуль на оси вала, а на контуре его сечения принимают одно и то же значение Поскольку функция вдоль контура постоянна, значение остается справедливым и для галтели. Таким образом, выбор постоянной на контуре при решении уравнений (41) равносилен принятию определенного значения для крутящего момента.

При решении уравнений (41) мы можем снова применить мембранную аналогию. Начнем с точек, для которых справедливо уравнение (42). Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение для прогибов при циклическом изгибе мембраны, натяжение которой обратно пропорционально Чтобы показать это, рассмотрим три соседних узла сетки (рис. 26). Соответствующие прогибы обозначим через

Натяжение посередине нитей будет равно

и

Уравнение равновесия для точки О примет тогда вид

или

Это соотношение совпадает с уравнением (45).

Таким же путем в общем случае, учитывая, что растягивающее усилие в мембране не зависит от 2, получаем уравнение

Которое согласуется с уравнением (41). Как видим, функцию напряжений можно определить как прогиб мембраны с неоднородным натяжением, имеющей постоянный прогиб вдоль контура и прогибы (44) в точках, которые расположены на большом расстоянии от галтели.

Рис. 26.

Рис. 27.

Примем для в узловых точках некоторые начальные значения, подставим их в левые части уравнений (46) и определим невязки. Теперь задача состоит в том, чтобы устранить все эти невязки в процессе релаксации. Из рис. 26 видим, что, придавая точке О единичное перемещение, мы добавляем к невязкам в точках 1 и 3 величины

Это показывает, что схема процесса релаксации имеет вид, показанный на рис. 27. Она меняется от точки к точке с изменением радиального расстояния Вычисления такого рода выполнили Р. В. Саусвелл и Д. Н. Аллен.