§ 80. Однородная деформация

Мы будем рассматривать здесь лишь малые деформации, которые часто встречаются в инженерных конструкциях. Малые перемещения частиц деформируемого тела разлагаются обычно на компоненты параллельные координатным осям Предполагается, что эти компоненты являются очень малыми величинами, непрерывно изменяющимися по объему тела.

Рассмотрим в качестве примера простое растяжение призматического стержня, закреплённого верхним концом (рис. 127). Обозначим через относительное удлинение стержня в направлении х, а через относительное поперечное сужение. Тогда компоненты перемещения точки с координатами х, у, z будут иметь вид

Рис. 127.

Обозначая через координаты этой точки после деформации, получаем

Если рассмотреть плоскость в стержне, задаваемую перед деформацией уравнением

то точки этой плоскости после деформации по-прежнему будут лежать в одной плоскости. Уравнение этой новой плоскости получается с помощью подстановки в уравнение (б) значений из соотношений (а). Таким путем можно легко показать, что параллельные до деформации плоскости и параллельные линии остаются параллельными и после деформации.

Если мы рассмотрим в стержне сферическую поверхность, определяемую уравнением

то в результате деформации стержня эта сфера преобразуется в эллипсоид, уравнение которого можно найти, подставляя в уравнение (в) выражения для х, у, z, полученные по формулам (а). Это дает

Таким образом, сфера радиуса деформируется в эллипсоид с полуосями

Простое растяжение с поперечным сужением, рассмотренное выше, представляет частный случай деформации более общего типа, в котором компоненты перемещения являются линейными функциями координат. Действуя тем же путем, что и раньше, можно показать, что этот тип деформации обладает всеми свойствами, обнаруженными выше для случая простого растяжения. Плоскости и прямые остаются плоскостями и прямыми после деформации. Параллельные плоскости и параллельные прямые после деформации остаются параллельными. Сфера после деформации становится эллипсоидом. Деформация такого вида называется однородной деформацией. Ниже будет показано, что для этого случая деформация в любом заданном направлении будет одинаковой для всех точек деформируемого тела. Следовательно, два геометрически подобных и подобным образом ориентированных элемента тела остаются после деформации геометрически подобными.

В более общих случаях деформация по объему деформируемого тела меняется. Например, при изгибе балки удлинения и сужения продольных волокон зависят от их расстояния до нейтральной поверхности, деформации сдвига в элементах скручиваемого круглого вала пропорциональны их расстояниям до оси вала. В таких случаях неоднородной деформации требуется анализ деформации в окрестности каждой точки.