§ 106. Другие элементарные решения

При исследовании задачи о кручении Сен-Венан рассмотрел несколько решений уравнений (150) в виде полиномов. Для решения соответствующей задачи представим функцию напряжений в форме

Тогда из уравнения (150) следует

и вдоль границы, согласно уравнению (152),

Таким образом, задача о кручении сводится к отысканию решений уравнения (б), удовлетворяющих граничным условиям (в). Чтобы получить эти решения в форме полиномов, воспользуемся функцией комплексного переменного

Действительная и мнимая части этого выражения являются в отдельности решениями уравнения (б) (см. стр. 182). Принимая, например, получаем

решения . При получаем решения При приходим к решениям в форме однородных функций четвертой степени и т. д. Комбинируя эти решения, можно получать различные решения в форме полиномов.

Взяв, например,

получаем решение уравнения (150) в форме полиномов третьей степени с постоянными а и которые будут определены дальше. Этот полином является решением задачи о кручении, если он удовлетворяет условию (152), т. е. если граница поперечного сечения стержня задается уравнением

Изменяя в этом выражении постоянную можно получить поперечные сечения различной формы.

Рис. 155.

Взяв приходим к решению для сечения в форме равностороннего треугольника. Уравнение (е) в этом случае может быть представлено в виде

т. е. в виде произведения уравнений трех сторон треугольника, показанного на рис. 155. Учитывая, что и подставляя в равенства (149) значение

получаем компоненты напряжений . Вдоль оси х в силу симметрии и из (ж) находим

Максимальное напряжение получается посередине сторон треугольника, где, согласно формуле (и),

По углам треугольника касательное напряжение равно нулю (см. рис. 155). Подставляя функцию определяемую формулой (ж), в (153), находим

Взяв решение уравнения (150) в форме полинома четвертой степени, содержащего только четные степени получаем функцию напряжений

Граничное условие (152) удовлетворяется, если контур поперечного сечения задается уравнением

Изменяя величину а, Сен-Венан получил семейство поперечных сечений, показанное на рис. 156, а. Комбинируя решения в форме полиномов четвертой и восьмой степеней, он получил поперечное сечение, показанное на рис.

Рис. 156.

На основе своих исследований Сен-Венан сделал общие выводы, представляющие практический интерес. Он показал, что в случае односвязных сечений при заданной площади поперечного сечения крутильная жесткость увеличивается при уменьшении полярного момента инерции сечения. Отсюда следует, что при заданном объеме материала круглый вал будет обладать максимальной крутильной жесткостью. Подобные выводы можно сделать, и рассматривая максимальное касательное напряжение. При заданном крутящем моменте и площади поперечного сечения максимальное напряжение будет наименьшим для поперечного сечения с минимальным моментом инерции.

Сравнивая различные односвязные сечения, Сен-Венан обнаружил, что крутильную жесткость можно приближенно вычислить с помощью равенства (157), т. е. заменяя заданный вал валом эллиптического поперечного сечения, имеющего ту же площадь и тот же полярный момент инерции, что и поперечное сечение рассматриваемого вала.

Максимальное напряжение во всех случаях, рассмотренных Сен-Венаном, имело место на границе в точках, которые расположены ближе всего к центру тяжести поперечного сечения. Более детальное исследование этого вопроса Файлономх) показало, что есть случаи, в которых точки, где действует максимальное напряжение, хотя и лежат на границе, но не являются ближайшими к центру тяжести сечения.

Положив в выражении и используя полярные координаты получим следующие решения

Возьмем далее функцию штряжений (а) в виде

где a и b — постоянные. Это выражение удовлетворяет граничному условию (152), если на границе поперечного сечения имеем или, согласно (м),

т. е.

что представляет собой уравнение контура поперечного сечения, показанного на рис. 157. Положив

получим окружность радиуса с центром в начале координат, а считая, что

будем иметь окружность радиуса а, касающуюся оси у в начале координат. Максимальное касательное напряжение действует в точке А и определяется по формуле

Рис. 157.

Если мало по сравнению с а, т. е. когда рассматривается полукруглая продольная выемка очень малого диаметра, напряжение на дне выемки равно удвоенному максимальному напряжению в круглом валу без выёмки.