§ 159. Плоская деформация и плоское напряженное состояние. Метод устранения деформаций

Плоская деформация в длинном цилиндрическом или призматическом теле возникает, когда температура изменяется по его поперечному сечению, но не меняется вдоль линий, параллельных оси цилиндра или призмы (оси г). В этом случае Т не зависит от z.

Если вновь исходить из напряженного состояния, определяемого формулами (ж) § 153, которое приводит к равным нулю деформациям, то необходимые объемные силы определятся зависимостями (и), где теперь следует принять к поверхности тела, включая его торцы, должно быть приложено давление, определяемое по формуле (е).

Затем, считая, что элементы тела соединены друг с другом, снимем объемные силы, а также давление, приложенное к криволинейной части поверхности так, чтобы осевая деформация оставалась равной нулю. Влияние этого снятия нагрузки можно получить, решив задачу плоской деформации тела когда к нему приложены объемные силы вида

и нормальные растягивающие напряжения величины

по криволинейной части его поверхности. Эта задача относится к типу, рассмотренному в конце § 17, если не считать того, что вместо равенства (32) для плоского напряженного состояния следует использовать соответствующее равенство для плоской деформации, заменив на Отсюда вместо уравнений (31) и (32) будем иметь

а также

Искомая функция напряжений должна удовлетворять уравнению (г) и доставлять на границе нормальное растягивающее напряжение (б). После определения напряжения можно найти по формулам (в). На эти напряжения следует наложить напряжения, определяемые по формулам (ж) § 153.

Осевые напряжения можно получить, складывая выражение, определяемое по формуле (ж) § 153, с выражением из (в). Результирующее осевое усилие и изгибающий момент на конце можно снять путем наложения одноосного растяжения и изгиба.

Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластинке, если температура по ее толщине не меняется. Принимая плоскость за срединную плоскость пластинки, мы можем положить Кроме того, каждый элемент пластинки можно считать свободно удлиняющимся в направлении Чтобы обеспечить совместность элементов, достаточно устранить расширение в направлениях х и у. Это требует приложения напряжений

Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (18), находим требуемые объемные силы

которые вместе с нормальным давлением нужно приложить к краям пластинки.

Снимая эти силы, приходим к заключению, что температурные напряжения можно определить путем наложения поля напряжений (д) на плоское

напряженное состояние, вызванное объемными силами

и нормальными растягивающими напряжениями приложенными вдоль краев тела. Отыскание этого плоского напряженного состояния снова приводит нас к задаче типа, рассмотренного в § 17. Нам следует лишь положить в уравнениях (31) и (32)

что является потенциалом объемных сил (ж).