Глава 4. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

§ 27. Общие уравнения в полярных координатах

При исследовании напряжений в круглых кольцах и дисках, криволинейных стержнях узкого прямоугольного поперечного сечения с круговой осью и т. д. удобно использовать полярные координаты. В этом случае положение точки на срединной плоскости пластинки определяется расстоянием от начала координат О (рис. 40) и углом между радиусом-вектором и некоторой осью фиксированной в рассматриваемой плоскости.

Рис. 40.

Рассмотрим равновесие малого элемента 1234, вырезанного из пластинки радиальными сечениями нормальными к пластинке, и двумя цилиндрическими поверхностями 3, 1, также нормальными к плоскости пластинки. Нормальную компоненту напряжения в радиальном направлении обозначим через нормальную компоненту в окружном направлении — через а касательную компоненту напряжения — через считая, что каждый символ представляет напряжение в точке которая находится в центре элемента точки Р. С учетом изменения напряжения его значения посередине сторон не будут в точности равны и мы обозначим их через как показано на рис. 40. Радиусы сторон 3, 1 обозначим через Усилие, действующее в радиальном направлении по стороне 1, равно что можно записать также в виде Усилие действующее в радиальном направлении по стороне 3, равно Компонента нормального усилия, действующего по стороне 2, вдоль радиуса, проходящего через точку Р, равна или Соответствующая компонента действующего по стороне 4 усилия равна Касательные усилия на сторонах 2 и 4 дают вклад Предположим, кроме того, что

объемная сила имеет в радиальном направлении компоненту Проектируя все силы на радиальное направление, получаем уравнение равновесия

После деления на это уравнение принимает вид

Если размеры элемента уменьшаются и в пределе становятся равными нулю, первый член уравнения в пределе обращается в Второй становится равным , а третий - . Проектируя все силы на окружное направление, получим второе уравнение равновесия. Окончательно эти два уравнения равновесия принимают вид

где - компонента объемной силы в кольцевом, направлении (в сторону увеличения ).

При решении двумерных задач в полярных координатах уравнения заменяют уравнения (18). Если объемные силы равны нулю, то уравнения (37) можно удовлетворить, полагая

где — функция напряжений, зависящая от . Это, разумеется, можно проверить с помощью прямой подстановки. Вывод формул (38) приводится ниже. Вместо вывода уравнений (37) и доказательства, что при они удовлетворяются при помощи выражений (38), можно исходить из поля напряжений в системе координат определяемого компонентами как это было сделано в главе 3. Затем от них можно перейти к компонентам в полярных координатах. Из (13), отождествляя , имеем

Подобным же образом можно выразить через

с помощью следующих соотношений (см. задачу 1, стр. 157):

Чтобы получить выражения (38), найдем далее зависимости между производными в обеих координатных системах. Прежде всего, имеем

что

Таким образом, для любой функции в полярных координатах получаем

Чтобы найти выражение для повторим операцию, определенную правой частью (в). Тогда

После небольших преобразований это соотношение приводится к виду

Аналогично находим

Если в качестве взять функцию напряжений определяемую формулами (29) (при то производные в левых частях уравнений (г), (д) и (е) станут равными соответственно . Следовательно, выражения в правых частях уравнений (г), (д) и (е) можно подставить вместо компонент напря

жения в правой части (а). Легко проверить, что результат такой подстановки приводит к формулам (38).

Чтобы записать дифференциальное уравнение (а) (стр. 53) в полярных координатах, сначала сложим уравнения (г) и (д). Получим

Это соотношение показывает, что оператор правой части в полярных координатах эквивалентен оператору Лапласа левой части. Далее, складывая два первых уравнения (б), найдем

Если объемная сила отсутствует, то аналогично тому, как это было сделано на стр. 48, получаем

В силу соотношений (и), это условие можно записать в виде

Из различных решений этого дифференциального уравнения в частных производных мы можем получить решения двумерных задач в полярных координатах при разных граничных условиях. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в данной главе.