§ 155. Полные термоупругие деформации. Произвольное распределение температуры

В последующих приложениях предшествующей теоремы вспомогательная задача будет либо элементарной, либо будет выбрана из числа задач, решенных ранее в этой книге. В каждом случае будет получена простая общая формула, полезная в расчетной практике.

Изменение объема. Рассмотрим тело произвольной формы с полостями или сплошное. В качестве вспомогательного состояния примем то, которое вызывается равномерной нормальной (растягивающей) нагрузкой распределенной по всей поверхности тела, включая полости, если они существуют. Тогда в любой точке материала

Работа сил этого вспомогательного состояния на термоупругих перемещениях отвечающих произвольному повышению температуры , равна просто где — термоупругое приращение объема сплошного материала. Теорема (268) теперь дает

Это означает, что изменение объема вызывается просто свободным температурным расширением. Хотя при этом имеются температурные напряжения и вызываемые ими упругие деформации, соответствующее изменение объема будет в одних частях тела положительно, в других отрицательно, а в сумме равно нулю.

Изменение объема полости. Пусть тело содержит полость. Объем, заключенный в полости при произвольном повышении температуры увеличивается на . Мы можем определить если известно решение вспомогательной задачи о действии в полости равномерно распределенного внутреннего давления. Если такое напряженное состояние вызвано действием только одного внутреннего давления то

Тогда теорема (268) дает

Рассмотрим, например, полую сферу. Решение для случая действия внутреннего давления (стр. 397) дает сумму трех главных напряжений в виде

Сравнивая с (в), получаем для этого случая значение и формула (г) тогда принимает вид

Интеграл выражает просто полное свободное объемное расширение элементов материала. Если внешний радиус b бесконечен и интеграл (е) остается конечным, то объем полости не изменится вообще.

Удлинение стержня. Для стержня произвольного постоянного поперечного сечения среднее удлинение, вызванное произвольным повышением температуры , можно определить, выбрав в качестве вспомогательного состояния одноосное растяжение с напряжениями

Если определить как удлинение линий, параллельных оси стержня, усредненное по площади поперечного сечения А, то теорема (268) дает

Вообще говоря, помимо такого удлинения, стержень будет иметь еще и другие деформации.

Взаимное вращение концевых сечений при изгибе стержня. Среднее термоупругое вращение одного концевого сечения стержня относительно другого можно получить, взяв в качестве вспомогательного состояния чистый изгиб (§ 102). Тогда, приняв, что в плоскости действует вместо М (рис. 145) изгибающий момент имеем

Теорема (268) позволяет определить . Для этого нужно в (268) записать член, выражающий работу, как . Тогда после исключения получаем

Прогиб консоли. Взяв в качестве вспомогательного состояния решение задачи Сен-Венана об изгибе консоли из § 120 и заменяя Р на имеем

Левая часть равенства (268) представит работу нагрузки Р на нагруженном конце (рис. 190) и реакций на «закрепленном» конце на термоупругих перемещениях, вызванных температурой Т. Консоль может быть закреплена путем фиксации одного элемента на конце по его положению и ориентации. Если стержень тонкий, то перемещения на этом конце можно рассматривать как малые, и соответствующей работой можно пренебречь. Средний прогиб в направлении х на нагруженном конце можно определить путем представления работы в левой части равенства (268) в виде Тогда

Взаимное вращение концевых сечений при кручении стержня. В качестве вспомогательной задачи принимается задача Сен-Венана о кручении из § 104. Компоненты напряжения обращаются в нуль, а с ними и Таким образом, правая часть уравнения (268) равна нулю. В силу этого и термоупругое вращение одного конца стержня относительно другого конца в рассматриваемом здесь усредненном смысле также равно нулю.

При кручении стержня с переменным сечением (теория Ми-Челла, изложенная в § 119) нормальные компоненты напряжения обращаются в нуль (см. формулы (а) § 119), и в силу этого относительное вращение концов при кручении равно нулю.