§ 30. Компоненты деформаций в полярных координатах

При исследовании перемещений в полярных координатах обозначим компоненты перемещения в радиальном и окружном направлениях через Если — радиальное перемещение стороны элемента (рис. 44), то радиальное перемещение стороны равно Относительное удлинение элемента в радиальном направлении определится тогда формулой

Рис. 44.

Деформации в окружном направлении зависят не только от перемещения но также и от радиального перемещения и. Считая, например, что точки элемента (рис. 44) имеют только радиальное перемещение получаем, что новая длина дуги равна а отсюда окружная деформация определяется выражением

Разность окружных перемещений сторон элемента равна а окружная деформация, вызванная перемещением соответственно равна Отсюда общая окружная деформация определяется формулой

Рассмотрим теперь деформацию сдвига, считая, что элемент после деформации занимает положение (рис. 44). Угол между направлениями связанный с радиальным перемещением и, равен Точно так же угол между равен Следует отметить, что вклад в деформацию сдвига вносит только часть этого угла (заштрихованная на рисунке),

тогда как другая его часть, равная представляет угловое перемещение, связанное с вращением элемента как абсолютно твердого тела относительно оси, проходящей через точку О. Следовательно, общее изменение угла представляющее собой деформацию сдвига, определяется формулой

Подставляя теперь выражения для компонент деформации (48), (49) и (50) в уравнения, выражающие закон Гука для плоского напряженного состояния

можно получить уравнения, достаточные для определения и и