§ 57. Перемещения, отвечающие заданной функции напряжений

В § 43 уже было показано, что в многосвязной области при определении напряжений требуется, чтобы соответствующие перемещения обеспечивали отсутствие в них разрывов, т. е. чтобы напряжения частично не были вызваны дислокациями. По этой причине, не говоря уже о случаях, когда перемещения

представляют интерес сами по себе, нам нужен метод отыскания функций перемещений и и при заданной функции напряжений.

Зависимости между напряжениями и деформациями для плоского напряженного состояния, определяемого уравнениями (22) и (23), можно записать в следующем виде:

Внося в первое из этих соотношений функцию напряжений и учитывая, что получаем

аналогично

Однако, согласно равенствам (е) и (ж) § 56 в приведенном выше уравнении (в), можно заменить Р на а в уравнении (г) заменить Р на Отсюда, после деления на получаем

Интегрирование этих уравнений приводит к соотношениям

где произвольные функции. Если эти выражения подставить в левую часть уравнения (б), то получим

Но первый член в левой части этого уравнения равен а скобка обращается в нуль, поскольку и — сопряженные гармонические функции, удовлетворяющие уравнениям Коши — Рима на (§ 56). Отсюда

что влечет за собой

где А — постоянная. Отсюда следует, что члены в уравнении (е) представляют перемещение абсолютно твердого тела. Опуская эти члены, можно переписать уравнения (е) в виде

и просто иметь в виду, что в (и) можно добавить перемещения абсолютно твердого тела. Эти уравнения позволяют нам найти и и если известна функция . Прежде всего мы должны, найдя определить сопряженную функцию с помощью уравнений Коши — Римана

построить функцию и с помощью интегрирования функции как это сделано в уравнении (г) § 56, получить и Далее можно найти все члены уравнений (и).

Полезность уравнений (и) проявится в последующих приложениях, для которых метод определения перемещений, использованный в главах 3 и 4, непригоден.