Глава 3. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

§ 18. Решение в полиномах

Выше было показано, что решение двумерных задач теории упругости, когда объемные силы отсутствуют или постоянны, сводится к интегрированию дифференциального уравнения

при граничных условиях (20). Для случая длинной прямоугольной полосы представляют интерес решения уравнения (а) в форме полиномов. Выбирая полиномы различных степеней и подбирая для них соответствующие коэффициенты, можно решить много практически важных задач.

Начнем с полинома второй степени

который, очевидно, удовлетворяет уравнению (а). Из уравнений (29), полагая находим

Все три компоненты напряжения постоянны по всему объему тела; таким образом, функции напряжения (б) соответствует случай комбинированного однородного растяжения или сжатия в двух взаимно перпендикулярных направлениях и однородного сдвига. Как уже отмечалось на стр. 46, на границе тела усилия должны быть равны внутренним напряжениям; в случае прямоугольной пластинки со сторонами, параллельными координатным осям, эти усилия показаны на рис. 21.

Рассмотрим теперь функцию напряжений в виде полинома третьей степени:

Эта функция также удовлетворяет уравнению (а). Используя выражения (29) и полагая находим

Для прямоугольной пластинки, показанной на рис. 22, положив все коэффициенты, кроме равными нулю, получаем напряженное состояние чистого изгиба. Если лишь один коэффициент отличен от нуля, получаем случай чистого изгиба под действием нормальных напряжений, приложенных к сторонам пластинки с. Если считать отличными от нуля коэффициенты или то находим, что по краям пластинки действуют не только нормальные, но также и касательные напряжения.

Рис. 21.

Рис. 22.

Рис. 23.

Рис. 23 показывает, например, случай, в котором в функции (в) равны нулю все коэффициенты, кроме Вдоль краев имеем равномерно распределенные растягивающие и сжимающие напряжения, а также касательные напряжения, пропорциональные координате х. На краю действует только одно постоянное касательное напряжение а на краю напряжения отсутствуют. Аналогичное распределение напряжений получается в том случае, если принять отличным от нуля коэффициент Взяв функцию напряжений в виде полиномов второй или третьей степени, мы не накладываем никаких ограничений на выбор величин коэффициентов, поскольку уравнение (а)

удовлетворяется при любых их значениях. В случае полиномов более высоких степеней уравнение (а) удовлетворяется только в том случае, если между коэффициентами выполняются соответствующие условия связи. Возьмем, например, функцию напряжений в виде полинома четвертой степени

Подставляя выражение (г) в равенство (а), находим, что оно удовлетворяется лишь в том случае, когда

Компоненты напряжения в этом случае выражаются формулами

Рис. 24.

Коэффициенты в этих выражениях произвольны; подбирая их соответствующим образом, можно получить различные условия нагружения прямоугольной пластинки. Например, принимая все коэффициенты, за исключением равными нулю, находим

Если считать коэффициент положительным, то силы, действующие на прямоугольную пластинку и вызывающие напряжения (д), имеют вид, представленный на рис. 24. По продольным сторонам пластинки действуют равномерно распределенные касательные усилия, по концам — касательные усилия, распределенные по параболическому закону. Касательные усилия, действующие по контуру пластинки, приводятся к паре с моментом

Эта пара уравновешивается другой парой, образуемой нормальными усилиями, действующими на краю пластинки

Рассмотрим функцию напряжений в виде полинома пятой степени

Подстановка выражения (е) в уравнение (а) показывает, что это уравнение удовлетворяется, если

Соответствующие компоненты напряжения равны

Коэффициенты снова произвольны, и, выбирая их, можно получить решения для различных условий нагружения пластинки. Принимая, например, все коэффициенты, кроме равными нулю, находим

При этом нормальные усилия равномерно распределяются вдоль продольного края пластинки (рис. 25, а). Вдоль края нормальные усилия складываются из усилий, распределенных по линейному закону, и усилий, распределенных по закону кубической параболы.

Рис. 25.

Касательные напряжения на продольных краях пластинки пропорциональны х, а вдоль края распределены по параболическому закону. Распределение этих напряжений по контуру пластинки показано на рис.

Так как уравнение (а) представляет собой линейное дифференциальное уравнение, то сумма нескольких решений этого уравнения также будет его решением. В силу этого можно производить наложение элементарных решений, полученных в этом параграфе, и находить новые решения, представляющие практический интерес. Ниже будет рассмотрено несколько примеров использования метода наложения.