§ 124. Прямоугольное поперечное сечение
Уравнение контура в случае сечения в форме прямоугольника, показанного на рис. 191, имеет вид
Если подставить в уравнение (183) постоянную 
вместо 
то выражение 
вдоль сторон
прямоугольника 
становится равным нулю. Вдоль вертикальных сторон 
равна нулю производная 
Следовательно, правая часть уравнения (183) вдоль всего контура равна нулю, и мы можем принять, что на контуре 
. Дифференциальное уравнение (182) приобретает следующий вид:
Это уравнение вместе с граничным условием полностью определяет функцию напряжений. Задача сводится к определению прогибов равномерно растянутой прямоугольной мембраны, вызванных распределенной нагрузкой, интенсивность которой пропорциональна
Пересечение этой мембраны с плоскостью 
на рис. 191 представляет кривая 
Из формул (181) мы видим, что касательные напряжения можно разложить на две следующие системы напряжений
Рис. 191.
Первая система соответствует параболическому распределению напряжений, которое дает обычная элементарная теория изгиба.
Вторая система, зависящая от функции 
представляет необходимые поправки к элементарному решению. Величины этих поправок определяются наклоном мембраны. Вдоль оси у в силу симметрии 
и поправками к элементарной теории служат вертикальные касательные напряжения, определяемые наклоном 
Согласно рис. 191 
в точках тир положительно и в точке 
отрицательно. Следовательно, вдоль горизонтальной оси симметрии напряжение 
не постоянно, как это следует 
элементарной теории, а имеет максимумы по концам шири минимум в центре 
Из условия нагружения мембраны можно видеть, что 
является четной функцией координаты 
и нечетной — координаты у. Это требование, а также граничное условие, удовлетворяются, чтобы взять функцию напряжения 
в форме ряда Фурье
Подставляя это выражение в уравнение (б) и применяя обычный метод определения коэффициентов ряда Фурье, приходим к уравнениям
Подставив эти выражения в формулу (г), получим
Получив функцию напряжений, можно найти компоненты касательного напряжения из формул (в).
Выведем теперь формулы для поправок к напряжениям вдоль оси у, которые дает элементарная теория. Из рассмотрения прогибов мембраны (рис. 191) можно видеть, что вдоль этой оси поправки имеют максимальные значения, и следовательно, максимальное напряжение действует в средних точках сторон 
Вычислив производную 
и положив 
находим, что
Отсюда находим следующие формулы для касательных напряжений в центре поперечного сечения 
и для середин вертикальных сторон прямоугольника:
Суммирование этих рядов сильно упрощается, если использовать
известные формулы
Отсюда
где 
— площадь поперечного сечения. Эти ряды сходятся быстро, и для любого отношения 
нетрудно вычислить поправки 
Эти поправки следует добавить к значений 
которое дает элементарная теория.
Таблица 8 (см. скан)
В первых строках табл. 8 находятся численные коэффициенты, на которые нужно умножить приближенное значение касательного напряжения 
чтобы получить точное значение. Коэффициент Пуассона 
в этих вычислениях принимался равным 0,25. Мы видим, что элементарная формула дает очень точные значения касательных напряжений, когда 
Для квадратного сечения ошибка в определении максимального напряжения, получаемого по элементарной формуле, составляет около 10%.
Если обе стороны прямоугольника являются величинами одного порядка, то мы можем получить приближенное решение для распределения напряжений в полиномиальной форме, приняв функцию напряжений в виде
Определяя коэффициенты тип из условия минимума потенциальной энергии, находим
Касательные напряжения, получаемые из выражения (д), равны
Приближенные значения касательных напряжений, приведенные в табл. 8, получены с использованием этих формул. Как видим, приближенные формулы (е) в рассматриваемом диапазоне значений 
дают удовлетворительную точность.
Мембранная аналогия позволяет получить и другие полезные приближенные формулы для определения касательных напряжений. Если а велико по сравнению с 
(рис. 191), можно предположить, что в точках, достаточно удаленных от коротких сторон прямоугольника, поверхность мембраны является цилиндрической. Тогда уравнение (б) принимает вид
и мы находим, что
Подставляя это выражение в уравнения (в), получаем следующую формулу для напряжений вдоль оси:
Легко заметить, что для сечения в виде узкого прямоугольника поправка к элементарной теории, даваемая вторым членом в скобках, всегда мала.
Если 
велико по сравнению с а, прогибы мембраны в точках, удаленных от коротких сторон прямоугольника можно считать линейной функцией от у. Тогда из уравнения (б) находим
Подставляя это значение в уравнения (в), получаем для компонент касательного напряжения следующие формулы:
В центре тяжести поперечного сечения 
По сравнению с обычной элементарной теорией напряжение в этой точке уменьшается на коэффициент 
Однако для очень широких прямоугольников 
намного больше, чем а) в некоторых точках поперечного сечения получаются значения максимального напряжения, большие значения 
которое дает элементарная теория. Более того, если 
превышает 15, максимальным напряжением будет уже не компонента 
в точке 
т. е. в середине вертикальных сторон. Им становится горизонтальная компонента 
в точках 
на верхней и нижней гранях вблизи углов. Значения этих напряжений при 
приводятся в табл. 92).
Значения 
даны в форме 
в последнем столбце, где 
— расстояние точки с максимальным напряжением от угла.
