§ 39. Изгибающий момент, действующий на острие клина

Функции напряжений

соответствует система напряжений

а функция напряжений

приводит к распределению напряжений

Комбинируя эти два решения, получаем

Очевидно, грани будут свободны от нагрузки, если принять

Тогда напряжения будут определяться формулами

На цилиндрической поверхности радиуса (рис. 65) напряжения вызывают ненулевое горизонтальное усилие. Но то же можно сказать и о напряжениях непосредственные вычисления по формуле (е) показывают, что полное усилие равно нулю. Система сил приводится к паре с заданным моментом М, отнесенным к единичной толщине и определяемым формулой

Очевидно, что напряжения (е) в материале, расположенном между сечениями отвечают изгибу клина моментами М, (рис. 65), причем постоянная определяется через М и с помощью уравнения (ж). Внутренний радиус а можно выбрать сколь угодно малым.

Выражение в скобках в формуле (ж)

не может обращаться в нуль ни при каких значениях а, определяющих угол раствора клина. При это выражение обращается в нуль только при 257,4°, но тогда рассматриваемая область представляет собой почти три четверти кольца (рис. 66). Момент М. в формуле (ж) обратится в нуль, так как вклады функций равны по величине и противоположны по знаку.

Рис. 65.

Рис. 66.

Нагрузка на дуге будет самоуравновешенной, так же, разумеется, как и нагрузка на дуге

При 257,4° момент М снова не будет равен нулю, и определится из уравнения (ж). Однако теперь существуют уже и другие способы нагружения дуги приводящие к моменту М, которые дают распределение напряжений, убывающее с ростом медленнее, чем (как это имеет место в соотношении ). В действительности сказанное становится справедливым, как только угол превысит 180°. Таким образом, применение зависимостей (е) и (ж) ограничивается случаями клиньев со сравнительно небольшими углами при вершине, в которых влияние распределения усилий при может быть локализовано.