§ 44. Приложения обобщенного решения в полярных координатах
В качестве первого приложения решения двумерной задачи в рядах в полярных координатах рассмотрим круглое кольцо, сжатое двумя равными и противоположно направленными силами, действующими вдоль диаметра (рис. 85, а).
Рис. 85.
Мы начнем с решения для сплошного диска (§ 41). Вырезав в этом диске концентрическое отверстие радиуса а, получим, что по краю отверстия
действуют распределенные нормальные и касательные усилия. Эти усилия можно снять путем наложения системы сил, равных по величине и противоположных по знаку. Эту последнюю систему можно представить с достаточной точностью, используя несколько первых членов ряда Фурье. Тогда соответствующие напряжения в кольце получаются при помощи общего решения, приведенного в предыдущем параграфе. Эти напряжения вместе с напряжениями, найденными для сплошного диска, и дают полные напряжения в кольце. Отношения 
найденные таким путем для различных точек поперечных сечений 
в случае 
даются в приведенной ниже табл. 4 1.
ТАБЛИЦА 4. (см. скан)
Для сравнения даются значения тех же напряжений, определенные по двум элементарным теориям, основанным на следующих допущениях: 1) поперечные сечения остаются плоскими, в силу чего нормальные напряжения в сечении следуют гиперболическому закону; 2) напряжения распределяются по линейному закону.
Таблица показывает, что для сечения 
которое находится на сравнительно большом расстоянии от точек приложения нагрузки Р, гиперболическое распределение напряжений дает результаты, весьма близкие к точным. Ошибка в величине максимального напряжения не превышает 3%. Для поперечного сечения 
ошибки приближенного решения намного больше. Интересно отметить, что результирующая нормальных напряжений, действующих по сечению 
равна 
Этого следовало ожидать, если вспомнить задачу о действии сосредоточенной нагрузки на клин, представленный на рис. 68, г.
Распределение нормальных напряжений по сечениям 
определенное тремя вышеописанными методами, показано на рис. 85, б и в. Метод, примененный выше для случая действия двух равных по величине и противоположных по направлению сил, можно использовать для общего случая нагружения круглого кольца сосредоточенными силами.
В качестве второго примера рассмотрим стержень с проушиной 2) рис. 86. Распределение давлений по краю отверстия зависит от величины зазора между болтом и краем отверстия. Приведенные далее результаты получены в предположении, что на внутренней и внешней границах действуют только нормальные давления:
Таким образом, давления распределены вдоль нижней половины внутреннего, края и верхней половины внешгего края проушины.
Рис. 86.
Рис. 87.
После разложения этих выражений в тригонометрические ряды, напряжения можно вычислить, используя общее решение (80) из предыдущего параграфа. Рис. 87 показывает значения отношения 
вычисленные для поперечных сечений 
и 
при 
Следует отметить, что в этом случае
результирующая усилий, действующих на каждой границе, не обращается в нуль; следовательно распределение напряжений зависит от упругих констант материала. Приведенные выше вычисления сделаны при коэффициенте Пуассона, равном 
