§ 112. Кручение стержней прокатных профилей

При исследовании кручения прокатных профилей, таких, как уголки, швеллеры, двутавры, можно пользоваться формулами, выведенными для стержней узкого прямоугольного сечения (§ 108). Когда поперечное сечение имеет постоянную толщину, как это показано на рис. 166, угол закручивания с достаточной точностью определяется по формуле (163), если внести в эту формулу вместо развернутую длину срединной линии сечения, а именно

Рис. 166.

В случае швеллера (рис. 166, б) грубо приближенное решение для угла закручивания получается, если принять для полок среднюю толщину разделив поперечное сечение на три прямоугольника и подставив вместо в уравнение (163), т. е. предполагая, что крутильная жесткость швеллера равна сумме крутильных жесткостей трех прямоугольников. Тогда

Чтобы определить напряжение на границе в точках, находящихся на значительном удалении от углов поперечного сечения, мы можем вновь воспользоваться уравнением для узкого прямоугольника и принять

Тогда из уравнения (а) получаем для полок швеллера

Те же приближенные уравнения можно использовать и для двутавра (рис. 166, в).

У входящих углов наблюдается значительная концентрация напряжений, величина которых зависит от радиуса закругления. Грубо приближенное значение максимального напряжения в местах закруглений можно получить на основе мембранной аналогии. Рассмотрим поперечное сечение в форме уголка постоянной толщины с (рис. 167) с радиусом закругления входящего угла, равным а. Допустим, что поверхность мембраны у биссектрисы входящего угла приближенно представляется поверхностью вращения с осью, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Используя полярные координаты, можно привести уравнение (159) для поверхности прогибов мембраны к виду (см. стр. 85)

Рис. 167.

Учитывая, что наклон мембраны определяет касательное напряжение если заменить на находим из (в) следующее уравнение для касательного напряжения:

Соответствующее уравнение для областей полок уголка, расположенных на значительном расстоянии от угла, т. е. там, где мембрана прогибается почти по цилиндрической поверхности, имеет вид

где — нормаль к границе. Обозначая через напряжение на границе, получаем из (д) уже известное нам решение для узкого прямоугольника Используя его, получаем из уравнения (г) следующее уравнение:

откуда после интегрирования находим, что

где А — постоянная интегрирования. Для определения этой постоянной предположим, что касательное напряжение обращается в нуль в точке на расстоянии от границы (рис. 167).

Тогда из условия (е)

Подставляя это выражение в (е) и полагая находим

Рис. 168.

При , как это имеет место на рис. 167, имеем Для закругления очень малого радиуса максимальное касательное напряжение становится очень большим. Принимая, например, , находим:

Более точные и полные результаты можно получить численно, основываясь на методе конечных разностей (см. Приложение I). Кривая как функция от полученная этим методом, показана на рис. 168 (кривая А) вместе с кривой, представляющей уравнение (ж). Мы увидим, что эта простая формула дает хорошие результаты, когда меньше 0,3.