§ 136. Сферический сосуд под действием внутреннего или внешнего равномерного давления

С помощью суперпозиции из решения, найденного в предыдущем параграфе, можно получить несколько новых решений, представляющих практический интерес. Начнем со случая действия двух равных по величине и противоположных по знаку сил, находящихся на малом расстоянии друг от друга и приложенных к упругому телу неограниченных размеров (рис. 204).

Напряжения, вызываемые в каждой точке силой Р, приложенной в начале координат О, определяются формулами (204) и (205). Используя эти же формулы, можно также получить напряжения, вызываемые силой Р, действующей в точке О. Учитывая, что вторая сила действует в противоположном направлении и считая расстояние бесконечно малым, в выражениях (204) мы должны заменить каждый член вида направлении и считая расстояние бесконечно малым, в выражениях (204) мы должны эаменить каждый член вида на Накладывая напряжения, вызываемые обеими силами, и используя символ А для обозначения произведения находим

Рис. 204.

Рассмотрим (рис. 204) компоненты напряжения и действующего в точке М элементарной площадки, перпендикулярной радиусу длина которого обозначена через Из условия равновесия малого треугольного элемента, показанного на рисунке, находим

Используя формулы (206) и полагая

получаем

Это распределение напряжений является симметричным по отношению к оси и по отношению к координатной плоскости, перпендикулярной оси

Представим себе теперь, что мы имеем в начале координат наряду с системой двух сил Р, действующих вдоль оси Р, такую же систему сил вдоль оси и еще одну систему сил, перпендикулярную плоскости В силу сформулированного выше свойства симметрии мы получаем, таким образом, распределение напряжений, симметричное относительно начала координат. Если мы рассмотрим сферу с центром в начале координат, по поверхности этой сферы будет действовать лишь одно равномерно распределенное нормальное напряжение. Величину этого напряжения можно определить, используя первую из формул (б). Если рассмотреть это напряжение в точках, расположенных на окружности в плоскости то первое из уравнений (б) даст часть его, вызванную действием двух сил вдоль оси Путем взаимной замены и получаем нормальное напряжение на той же окружности, вызванное действием двух сил в направлении оси Нормальное напряжение, вызванное действием двух сил в направлении, перпендикулярном плоскости получается путем подстановки в ту же формулу значения Накладывая действия трех взаимно перпендикулярных двойных сил, находим следующую формулу для нормального напряжения, действующего на поверхности сферы:

Рассмотренная совокупность трех перпендикулярных двойных сил называется центром сжатия. Из формулы (в) мы видим, что соответствующее напряжение сжатия в радиальном направлении зависит только от расстояния от центра сжатия и будет обратно пропорционально кубу этого расстояния. Это сингулярное решение со сферической симметрией может использоваться при отыскании напряжений в полной сфере при заданных

внешнем и внутреннем давлениях (рис. 205). Накладывая на направление (в) равномерное сжатие или растяжение во всех направлениях, можно получить общее выражение для радиального нормального напряжения в виде

где С и D - постоянные. Их величины определяются из условий на внутренней и Енешней поверхностях сосуда; эти условия имеют вид

Тогда

Рис. 205.

Давления вызывают в сфере также нормальные напряжения в окружном направлении, величину которых мы найдем из условия равновесия элемента, вырезанного из сферы двумя концентрическими сферическими поверхностями радиусов и и круговым конусом с малым центральным углом (рис. 205). Это уравнение равновесия имеет вид.

откуда

Используя выражение (207) для о, формулу (д) можно записать в виде

Если

Можно убедиться, что наибольшее тангенциальное растягивающее напряжение в рассматриваемом случае будет действовать на внутренней поверхности, где

Все эти результаты принадлежат Ламе.