Глава 9. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 99. Однородное напряженное состояние

При исследовании уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) было установлено, что корректное решение задачи должно удовлетворять не только уравнениям (123) и (124), но и условиям совместности (§ 85). Эти последние условия при отсутствии объемных сил или при их постоянстве содержат лишь вторые производные от компонент напряжения. Таким образом, если уравнения (123) и граничные условия (124) можно удовлетворить, принимая компоненты напряжения постоянными или линейными функциями координат, то условия совместности удовлетворяются тождественно и эти напряжения представляют корректное решение задачи.

В качестве очень простого примера рассмотрим растяжение стержня в осевом направлении (рис. 142). Объемными силами можно пренебречь. Уравнения равновесия удовлетворяются, если принять

Рис. 142.

Очевидно, граничные условия (124) для боковых поверхностей стержня, свободных от внешних сил, удовлетворяются, поскольку все компоненты напряжения, за исключением равны нулю. Граничные условия на концах стержня имеют вид

т. е. мы имеем равномерное распределение растягивающих напряжений по всем поперечным сечениям стержня, если по его концам равномерно распределены растягивающие напряжения. В этом случае решение (а) удовлетворяет уравнениям (123) и (124) и является корректным решением задачи, так как условия совместности (126) удовлетворяются тождественно.

Если растягивающие напряжения распределены по концам неравномерно, решение (а) уже не является точным, так как оно не удовлетворяет граничным условиям на концах. Корректное решение становится более сложным, так как напряжения по поперечным сечениям уже не распределяются равномерно. Примеры

такош жеравномертюго распределения встречались при исследовании двумерных задач (см. стр. 75 и 268).

В качестве второго примера рассмотрим случай равномерного гидростатического давления без учета массовых сил. Уравнения равновесия удовлетворяются, если положить

Эллипсоид напряжений в этом случае является шаром. Любые три перпендикулярных направления можно принять за главные, и напряжение на любой площадке представляет собой нормальное сжимающее напряжение, равное Условия на поверхности (124), очевидно, будут удовлетворены, если давление равномерно распределено по поверхности тела.