§ 93. Теорема Кастильяно

В предыдущем параграфе равновесная форма упругого тела, подвергнутого действию заданных массовых сил и при заданных граничных условиях, сопоставлялась со смежными формами, получающимися в результате виртуальных перемещений из положения равновесия. Было установлено, что истинные перемещения, отвечающие положению устойчивого равновесия, доставляют минимум потенциальной энергии системы.

Рассмотрим теперь вместо перемещений напряжения, отвечающие положению равновесия. Мы знаем, что дифференциальные уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) недостаточны для определения компонент напряжения. Мы можем найти множество различных распределений напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям; в связи с этим возникает вопрос: как отличить истинное напряженное состояние от всех других статически возможных распределений напряжений?

Обозначим через компоненты истинного напряжения, отвечающие положению равновесия, а через малые вариации этих компонент, такие, что новые компоненты напряжения удовлетворяют тем же уравнениям равновесия (123). Затем, вычитая уравнения для одной системы из уравнений для другой системы, находим, что вариации компонент напряжения удовлетворяют трем уравнениям вида

Этой вариации компонент напряжения будут соответствовать вариации поверхностных усилий. Обозначим через эти малые изменения поверхностных усилий; тогда, на основании граничных условий (124), находим три уравнения вида

Рассмотрим теперь изменение энергии деформации тела, вызванное вышеописанными изменениями компонент напряжения. Взяв энергию деформации в единице объема в виде функции компонент напряжения (131), получим для изменения этой энергии выражение

имеющее в правой части шесть членов, причем

и т. д., а также

и т. д., откуда

Следовательно, полное изменение потенциальной энергии, вызванное изменениями компонент напряжения, составит

Исследуем это изменение энергии. Чтобы учесть граничные условия (б), нам потребуется теорема, известная под названием теоремы о дивергенции, или теоремы Гаусса, или леммы Грина. Пусть в некоторой области, ограниченной поверхностью которая имеет направляющие косинусы внешней нормали существуют три функции пространственных координат Теорема формулируется в виде равенства

где объемный интеграл в левой части берется по всему объему, ограниченному поверхностью а поверхностный интеграл в правой части — по всей ограничивающей поверхности Поверхность

может представлять внешнюю поверхность тела, а вместе с ней и поверхности одной или нескольких внутренних областей (полостей). Для наших целей удобно сперва принять

Тогда теорема (138) дает

Выполняя дифференцирование внутри квадратных скобок в левой части, получаем

Согласно зависимости (а) выражение в скобках обращается в нуль. Теперь соотношение (е) принимает вид

Таким же путем, приняв вначале вместо (д) выражения

получаемые с помощью циклической перестановки в (д), приходим к результату, который выписан ниже с помощью циклической перестановки в (и):

Далее с помощью еще одной циклической перестановки имеем

Складывая соотношения (и), и используя зависимость между перемещениями и деформациями (2), находим

Левая часть этого равенства, как и в равенстве (г), равна . Таким образом, при сохранении равновесия вариация энергии деформации в форме (131), отвечающая вариациям компонент напряжения дается формулой

Истинными напряжениями являются те, которые удовлетворяют

этому уравнению. Такие вариации являются математическими, а не физическими. Физические вариации напряжений, вызываемые вариациями граничных нагрузок, подвержены более жестким ограничениям, нежели уравнения равновесия в форме (а). Однако с математической точки зрения интеграл в формуле (139), если есть функция шести переменных, а именно, согласно (131), шести компонент напряжения, обладает вариацией независимо от способа изменения этих шести переменных.

В строительной механике энергия деформации линейно-упругой конструкции под действием системы сосредоточенных сил может быть выражена в виде квадратичной функции от этих сил. Тогда

и мы получаем теорему Кастильяно для соответствующих компонент перемещения

из того факта, что

Аналогия между (140) и (139) очевидна. Теорему (140) часто называют теоремой Кастильяно.

Возвращаясь к формуле (139), отметим, что вариации напряжения могут быть и такими, что краевые усилия X, Y, Z остаются неизменными. Тогда в трех условиях вида (б) равны нулю, а формула (139) принимает простой вид

Следовательно, для таких вариаций функция V стационарна. Мы исследовали, начиная с (в), только приращения и вариации первого порядка. Из рассмотрения вариаций второго порядка можно показать, что V в действительности достигает минимума. Теорему (141) иногда называют принципом минимальной работы, как и ее аналог для сосредоточенных сил в строительной механике.

Для плоской деформации или плоского напряженного состояния имеем или и (139) немедленно приводится к виду

где V берется в соответствующей форме, например в форме (133) для плоского напряженного состояния, а интеграл при единичной

толщине слоя представляет собой контурный интеграл вдоль граничной кривой с элементом дуги

Сформулированы и более общие вариационные принципы, в которых одновременно варьируются как напряжения, так и перемещения.