§ 96. Единственность решения

Рассмотрим теперь вопрос о том, может ли превышать единицу число решений уравнений теории упругости, отвечающих заданным поверхностным и массовым силам.

Пусть символы представляют решение для нагрузок , а символы представляют другое решение для тех же нагрузок . Тогда для первого решения справедливы уравнения

а также соответствующие условия совместности.

Для второго решения имеем

а также условия совместности.

Путем вычитания находим, что распределение напряжений, определяемое разностями а удовлетворяет

уравнениям

в которых отсутствуют внешние силы. Условия совместности (125) также будут удовлетворяться соответствующими компонентами деформации

Таким образом, это распределение напряжений отвечает нулевым поверхностным и объемным силам. Работа, совершаемая этими силами в процессе нагружения, равна нулю; отсюда следует, что интеграл обращается в нуль. Однако, как показывает уравнение (132), величина положительна для всех деформированных состояний, и следовательно, этот интеграл может обращаться в нуль лишь тогда, когда равно нулю во всех точках тела. Но это требует, чтобы и каждая из компонент деформации равнялась нулю. Таким образом, два состояния деформаций , а с ними и два состояния напряжений тождественно совпадают. Иначе говоря, рассматриваемые уравнения при заданных нагрузках могут иметь лишь одно решение.

Доказательство единственности решения основывалось на предположении о том, что потенциальная энергия, а следовательно, и напряжения в теле исчезают, если оно свободно от внешних сил. Однако бывают случаи, когда и при отсутствии внешних сил в теле могут существовать начальные напряжения. С примером такого рода мы встречались при исследовании кругового кольца (см. § 43). Если вырезать часть кольца, расположенную между двумя соседними поперечными сечениями, и снова соединить концы кольца с помощью сварки или другим способом, то получим кольцо с начальными напряжениями. Несколько

примеров такого рода мы обсуждали при исследовании двумерных задач.

Начальные напряжения в односвязном теле могут возникнуть также из-за неупругих деформаций, порожденных в процессе формовки тела. Например, значительные начальные напряжения могут возникнуть в крупных поковках вследствие неравномерного охлаждения, а также в катаных металлических стержнях вследствие пластических деформаций, возникших при холодной обработке. Для определения этих начальных напряжений уравнений теории упругости недостаточно, и требуется дополнительная информация, касающаяся процесса обработки тела.

Следует отметить, что во всех случаях, когда может использоваться принцип суперпозиции, деформации и напряжения, вызываемые внешними силами, не зависят от начальных напряжений и могут определяться в точности таким же путем, как это делается при отсутствии начальных напряжений. В таких случаях полные напряжения находятся в результате суперпозиции напряжений, вызванных внешними силами, на начальные напряжения. В случаях, когда принцип суперпозиции неприменим, напряжения, вызываемые внешними силами, нельзя определить, не зная начальных напряжений. Мы не можем, например, найти напряжения изгиба, вызываемые поперечными нагрузками в тонком стержне, если этот стержень имеет начальное растяжение или сжатие, не зная величины начальных напряжений.