§ 71. Отображающая функция для эллиптического отверстия. Второй граничный интеграл
Если принять
где 
- любая положительная, 
положительная постоянная, меньшая единицы, то получаем
Единичная окружность у на плоскости 
отображается на эллипс на плоскости 
с полуосями
а внешняя концентрическая окружность — на внешний софокусный эллипс.
Для второго интеграла в уравнении (102) находим
Поскольку 
отсюда имеем
Следовательно, второй интеграл принимает вид
где мы снова пишем 
вместо 
, чтобы подчеркнуть тот факт, что 
пргдставляет здесь некоторую произвольно выбранную точку вне у. Покажем теперь, что, согласно интегральной теореме Коши, интеграл 
обращается в нуль. Рассмотрим возможность того, что все подынтегральное выражение равно 
, т. е. совпадает на у со значением аналитической функции 
где 
— любая точка внутри у. Свойство непрерывности следует из условия
Отсюда, учитывая (д), можно получить
Члены 
в знаменателе не вызывают трудностей: они не равны нулю, так как 
и берется вне у. Учитывая разложение (а) из § 70, получаем
Это выражение является аналитическим, так как продифференцированный ряд для 
(?), полученный из (а) § 70, является аналитической функцией, если 
находится вне у, то есть если 
находится внутри у. Очевидно, функция 
является аналитической по у. Следовательно, интеграл от нее по контуру у, то есть 
согласно теореме Коши, равен нулю.
Этот результат, вместе с результатами в § 70, доказывает формулу (б) из § 68 для задачи об эллиптическом отверстии.
