Приложение II. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Этот численный метод заключается в разбиении рассматриваемой области упругого тела на ряд подобластей, в каждой из которых неизвестные поля имеют простое аналитическое выражение с точностью до нескольких констант. Задача состоит в определении этих констант из вариационных принципов или условий совместности.

Идея представления сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пуассону. Однако лишь появление ЭВМ позволило построить на ее основе эффективные методы расчета конструкций. К настоящему времени с помощью метода конечных элементов оказалось возможным решать многие Трехмерные задачи для линейно-упругих конструкций и упругопластические задачи для двумерных конструкций. Ниже мы дадим подробное описание метода конечных элементов для плоской задачи теории упругости, а также изложим основы более сложных методов.

§ 1. Векторы и матрицы

Запись соотношений в методе конечных элементов, методе конечных разностей и некоторых других методах дискретизации континуальных задач теории упругости можно упростить, используя понятия векторов и матриц.

Пусть имеется группа линейных зависимостей

Чтобы записать эти зависимости короче, введем следующие понятия. Совокупность значений назовем -мерным вектором-столбцом (его будем обозначать фигурными скобками)

а совокупность значений — -мерным вектором-столбцом

Совокупность коэффициентов называется прямоугольной матрицей

Операцию, представленную правыми частями формул (1), определим как умножение матрицы на вектор откуда

Таким образом, каждый элемент вектора-столбца произведения есть сумма произведений элементов строки матрицы на элементы вектора-столбца Поэтому операция умножения определена лишь тогда, когда число столбцов матрицы равно размерности (числу компонент вектора-столбца) . В частности, если матрица имеет одну строку

она называется вектором-строкой, и ее произведение на вектор столбец есть скаляр у

Этот скаляр называется скалярным произведением векторов

Аналогично произведение двух матриц

определяется как новая матрица

элементы которой находятся по формуле

Иначе говоря, каждый элемент матрицы-произведения есть скалярное произведение вектора-строки первого, сомножителя и вектора-столбца второго сомножителя, в которых стоит вычисляемый элемент («строка на столбец»). Для того чтобы произведение было определено, требуется, чтобы число столбцов одной матрицы равнялось числу строк другой. Легко убедиться, что произведение матриц удовлетворяет условию ассоциативности, но не удовлетворяет в общем случае условию коммутативности:

Матрица называется транспонированной к матрице если столбцы матрицы являются строками матрицы а строки -столбцами или

Если матрица симметрична, то т. е. транспонированная матрица тождественна исходной. Для векторов Очевидно, справедливо следующее соотношение:

Теория матриц содержит еще ряд свойств линейных преобразований, которыми мы здесь пользоваться не будем.