§ 15. Граничные условия

Уравнения (18) или (19) должны удовлетворяться во всех точках по объему тела. Компоненты напряжения меняются по объему рассматриваемой пластинки. При достижении ее границы они должны быть такими, чтобы находиться в равновесии с внешними силами, приложенными на границе пластинки. В силу этого внешние силы можно рассматривать как продолжение распределения внутренних напряжений. Условия равновесия на границе можно получить из уравнений (12). Рассмотрим малую треугольную призму (рис. 12), такую, что ее сторона совпадает с границей пластинки, как показано на рис. 20. Обозначая через X и Y компоненты поверхностных сил, отнесенных к единице площади в этой точке границы, получаем

где — направляющие косинусы нормали к границе.

В частном случае рассмотрения равновесия прямоугольной пластинки координатные оси обычно принимаются параллельными сторонам пластинки и граничные условия (20) можно упростить. Пусть, например, одна из сторон пластинки параллельна оси х, тогда нормаль на этой части границы будет параллельна оси отсюда Уравнения (20) тогда принимают вид

причем положительный знак в этих формулах берется в том случае, когда нормаль направлена в сторону положительных значений у; если же нормаль направлена в противоположную сторону, то берется отрицательный знак. Из этих формул видно, что компоненты напряжения на границе равны компонентам поверхностных усилий, отнесенных к единице площади границы.