§ 29. Чистый изгиб кривых брусьев

Рассмотрим кривой брус с постоянным сечением в виде узкого прямоугольника и круговой осью. Пусть брус изгибается в плоскости кривизны моментами М, приложенными по концам (рис. 42). В этом случае изгибающий момент остается постоянным по длине стержня и естественно ожидать, что распределение напряжений во всех радиальных сечениях будет одним и тем же, и потому решение задачи можно получить, используя выражение (41).

Рис. 42.

Обозначая через а и внутренний и внешний радиусы поверхности бруса и принимая ширину прямоугольного поперечного сечения равной единице, получаем следующие граничные условия:

Условие (1) означает, что как выпуклая, так и вогнутая поверхности бруса свободны от нормальных усилий. Условие (2)

указывает на то, что нормальные напряжения на концах вызваны только действием момента М, тогда как условие (3) указывает что к внешней и внутренней поверхностям не приложены касательные внешние усилия. Используя первое из уравнений (42) совместно с граничным условием (1) из (а), получаем

Теперь нужно удовлетворить граничному условию (2) из (а). Использование функции напряжений гарантирует равновесие системы. Ненулевая результирующая усилий на каждом из концов стержня приводит к нарушению условий равновесия. Для того чтобы изгибающий момент равнялся М, должно выполняться условие

Отсюда получаем

и, принимая во внимание, что с учетом (б)

из (в) находим

После подстановки сюда выражения (41) для получаем

Это уравнение, вместе с двумя уравнениями (б), полностью определяет постоянные А, В, С. Отсюда находим

где для упрощения введено обозначение

Подставляя значения постоянных, определяемые выражениями (д),

в формулы для компонент напряжения (42), получаем

Эти формулы дают распределение напряжений, удовлетворяющее всем граничным условиям (а) для чистого изгиба и представляют собой точное решение задачи, если распределение нормальных усилий на концах дается вторым из уравнений (47). Если силы, создающие изгибающий момент М, распределены по торцам стержня некоторым другим образом, распределение напряжений на концах будет отличаться от того, которое дается решением (47). Однако, согласно принципу Сен-Венана, на некотором удалении от концов, скажем, на расстояниях от концов, превышающих высоту сечения бруса, этими отклонениями от решения (47) можно пренебречь. Это обстоятельство иллюстрирует рис. 102.

Представляет практический интерес сравнение решения (47) с элементарными решениями, приводимыми в курсах сопротивления материалов. Если высота бруса мала по сравнению с радиусом срединной оси стержня, то обычно напряженное состояние принимается таким же, как и в прямолинейном брусе. Если же высота не мала, то обычно на практике полагают, что при изгибе поперечные сечения бруса остаются плоскими; тогда можно показать, что распределение нормального напряжения по любому поперечному сечению следует гиперболическому закону. Во всех случаях наибольшее и наименьшее значения напряжения (Те можно представить в виде

ТАБЛИЦА 1. Коэффициент в формуле (ж) (см. скан)

В табл. 1 приводятся значения множителя вычисленного по двум элементарным методам, упомянутым выше, и по точной формуле (47). Из этой таблицы можно видеть, что элементарное решение, основанное на гипотезе плоских сечений, дает очень точные результаты.

Далее будет показано, что в случае чистого изгиба плоские поперечные сечения действительно остаются плоскими, и расхождение между элементарными решениями и точным решением связано с тем, что в элементарных решениях пренебрегают компонентой напряжения и считают, что продольные волокна изогнутого стержня находятся в состоянии чистого растяжения или сжатия.

Рис. 43.

Из первого уравнения (47) можно видеть, что для направления изгиба, показанного на рис. 42, напряжение всегда положительно. Тот же вывод можно сделать сразу же, исходя из направления напряжений действующих на элементы (рис. 42). Соответствующие усилия дают результирующие в радиальном направлении, стремящиеся отделить друг от друга продольные волокна и вызывающие растягивающее напряжение в радиальном направлении. Это напряжение увеличивается в направлении к нейтральной поверхности и становится

мальным вблизи нее. Его максимальное значение всегда намного меньше Например, при при при На рис. 43 дано распределение при Из этого рисунка видно, что точка с максимальным напряжением несколько смещена от нейтральной оси в направлении центра кривизны.