§ 145. Решение Буссинеска в виде двух гармонических функций

Решения, полученные в этой главе для осесимметричных задач при отсутствии кручения, до сих пор были выражены через одну бигармоническую функцию Лява . Еще раньше общая форма решения, выраженного через две гармонические функции, была дана Буссинеском. Позднее она широко использовалась в задачах, несколько более сложных, чем рассмотренные нами, например в решениях Нейбера для задач об осевом растяжении тел,

ограниченных эллипсоидами и гиперболоидами вращения. Эти решения упоминаются на стр. 252 (другие задачи, приведенные там неосесимметричны) в связи с представлениями Папковича-Нейбера для перемещения через четыре гармонические функции. Выведем теперь из этих более общих представлений формулы Буссинеска. Для четырех гармонических функций принимаем следующие выражения (обозначив );

где функции не зависят от 0 и являются гармоническими, т. е.

Оператор Лапласа имеет здесь тот же вид (а), указанный на стр. 384.

Перемещение в равенствах (а) § 88 можно разложить на части, являющиеся вкладами функций в отдельности. Тогда вклад в перемещение от будет вектором — который теперь определится следующими компонентами в цилиндрических координатах:

Вклад в перемещение от составит

Перемещение

совпадает с формой для перемещения, данной Буссинеском.