§ 143. Симметричная деформация круглого цилиндра

В случае круглого цилиндра, находящегося под действием осесимметричных сил, приложенных к его боковой поверхности, введем функцию напряжений в цилиндрических координатах и применим уравнение (190). Это уравнение удовлетворяется, если взять для функции напряжений решение

уравнения

в форме

где - функция только одной переменной Подставляя выражение (б) в уравнение (а) для определения получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Этому дифференциальному уравнению удовлетворяют модифицированные функции Бесселя (первого и второго рода) нулевого порядка с аргументом Решение, соответствующее сплошному цилиндру, легко получается непосредственно в виде ряда

Подставляя этот ряд в уравнение (в), получаем следующее соотношение между последовательными коэффициентами ряда

откуда

Подставляя эти зависимости в ряд (г), имеем

Ряд в скобках в уравнении (д) является функцией Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента которая обычно обозначается через . В последующем мы будем пользоваться для этой функции обозначением и записывать функцию напряжений (б) в виде

Уравнение (190) имеет также решения, отличные от решений уравнения (а). Одно из этих решений можно получить из вышеприведенной функции После дифференцирования имеем

Эта производная, записанная с отрицательным знаком, называется функцией Бесселя первого порядка и обозначается через Рассмотрим теперь функцию

Путем дифференцирования можно показать, что

Затем, учитывая, что является решением уравнения (в), получаем, что будет решением уравнения

Следовательно, решение уравнения (180) можно принять в форме

Комбинируя решения (е) и (к), мы можем взять функцию напряжений в виде

Подставляя эту функцию напряжений в уравнения (189), находим следующие выражения для компонент напряжений:

где некоторые функции от содержащие Используя таблицы бесселевых функций, можно легко вычислить значения для любого

Если обозначить через а внешний радиус цилиндра, то силы, приложенные к его поверхности, согласно формулам (м), определятся следующими значениями компонент напряжений:

Путем соответствующего подбора постоянных можно исследовать различные случаи симметричного нагружения цилиндра. Обозначая длину цилиндра через и принимая

получаем значения постоянных для случая, когда на боковой поверхности цилиндра действует нормальное давление Случай, когда представлен на рис. 215. Аналогичным образом можно получить решение в случае, когда на поверхности цилиндра действуют касательные усилия интенсивности

Полагая и используя принцип суперпозиции, приходим к решениям задач, в которых нормальные давления по поверхности цилиндра можно представить рядом вида

а касательные усилия — рядом вида

Если выражение для функции напряжений вместо (б) искать в виде

и рассуждать далее так же, как и раньше, то вместо выражения получим функцию напряжений

С помощью надлежащего выбора постоянных получаем решение для случая, когда нормальные давления, действующие на цилиндр, представляются рядом по синусам, а касательные усилия — рядом по косинусам. Таким образом, комбинируя решения мы можем получить любое осесимметричное распределение нормальных и касательных усилий по поверхности цилиндра. В то же время могут также действовать усилия, распределенные по концам цилиндра. Накладывая простое растяжение или сжатие, мы всегда можем сделать результирующие этих усилий равными пулю, и тогда в соответствии с принципом Сен-Венана их влиянием на распределение напряжений

вдали от концов можно пренебречь. Несколько примеров симметричного нагружения цилиидров рассмотрел Фаилон в уже упоминавшейся статье. Мы приведем здесь конечные результаты его решения для случая, показанного на рис. 216.

Рис. 215.

Рис. 216.

Рис. 217.

Цилиндр, длина которого равна , подвергается растяжению касательными усилиями, равномерно распределенными по указанным на рисунке частям поверхности. Представляет практический интерес распределение нормального напряжения о? по поперечным сечениям цилиндра. В табл. 12 приведены отношения этих напряжений к среднему растягивающему напряжению, полученному делением полного растягивающего усилия на площадь поперечного сечения цилиндра. Можно убедиться, что местные растягивающие напряжения вблизи нагруженных частей поверхности быстро убывают по мере удаления от указанных частей поверхности и приближаются к среднему значению.

ТАБЛИЦА 12 (см. скан)

Другое приложение общего решения задачи, выраженное через бесселевы функции, было дано Надаи при исследовании изгиба круглых пластинок силой, приложенной в центре (рис. 217). Метод, основанный на использовании преобразования Ханкеля и применимый к толстым плитам, полубесконечному телу, контактным задачам и задачам о круговой трещине, широко использовал Снеддон.