§ 6. Кручение стержней с многосвязными поперечными сечениями
Мы видели, что в случае стержней с многосвязными поперечными сечениями функция напряжений 
должна не только удовлетворять уравнению (4), но также удовлетворять вдоль
контура каждого отверстия уравнению
где А — площадь отверстия.
При использовании мембранной аналогии соответствующее соотношение имеет вид
Это означает, что нагрузка, равномерно распределенная по площади отверстия, уравновешивается растягивающими усилиями в мембране. Теперь, применяя конечно-разностные уравнения и квадратную сетку, обозначим через 
растягивающее усилие в нити, через 
— прогиб границы отверстия и через 
- прогиб узловой точки 
смежной с отверствием. Вместо (31) тогда будем иметь
или
где 
— число нитей, соединяющих площадь отверстия с остальной частью сетки. Уравнение равновесия (II) является лишь частным случаем уравнения (32), в котором 
Рис. 14.
Мы можем записать столько уравнений типа (32), сколько имеется отверстий в поверочном сечении. Эти уравнения вместе с уравнениями (11), записанными для каждой точки квадратной сетки, достаточны для определения прогибов всех узловых точек сетки и всех границ отверстий.
Рассмотрим в качестве примера случай квадратной трубы, поперечное сечение которой представлено на рис. 14. Принимая грубую квадратную сетку, показанную на рисунке, и учитывая условия симметрии, замечаем, что в этом случае нужно определить только пять значений функции напряжений 
. Необходимые уравнения получаются с помощью уравнения (32) и четырех уравнений (11), записанных для узловых точек 
Подставляя 
вместо 
и учитывая, что 
запишем эти уравнения в следующем виде:
Эти уравнения легко решить, откуда находим
а также значения а, b, с и d.
Эти значения, полученные с помощью весьма грубой сетки, не дают достаточно точных величин напряжений: необходим переход к более мелкой сетке. Результаты таких более точных вычислений можно найти в книге Саусвелла.
