§ 103. Чистый изгиб пластинок
Результаты предыдущего параграфа можно использовать при исследовании изгиба пластинок постоянной толщины. Если напряжения 
распределяются по грани пластинки, параллельной оси у (рис. 147), то поверхность пластинки станет седлообраздой поверхностью, кривизна которой, в плоскостях, параллельных плоскости 
равна 
а в перпендикулярном направлении 
Рис. 147.
Рис. 148.
Если через 
обозначить толщину пластинки, через 
— изгибающий момент на единицу длины границы, параллельной оси у, а через
мрмент инерции на единицу длины, то зависимость между 
и 
из предыдущего параграфа примет вид
Когда изгибающие моменты действуют в двух перпендикулярных направлениях (рис. 148), кривизны упругой поверхности пластинки можно, получить с помощью суперпозиции. Обозначим через 
кривизны упругой поверхности в плоскостях,
параллельных соответственно координатным плоскостям 
через 
обозначим изгибающие моменты, отнесенные к единице длины краев, параллельных соответственно осям у и х. Тогда, используя уравнение (а) и применяя принцип суперпозиции, находим
Моменты считаются положительными, если они вызывают изгиб пластинки выпуклостью вниз. Решая уравнения (б) относительно 
получаем
Для малых прогибов можно использовать аппроксимацию
Тогда, записывая
находим
Постоянная D называется изгибной жесткостью пластинки. В частном случае, когда пластинка изгибается по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси у, мы имеем 
и из уравнений (144)
Для частного случая, в котором 
имеем
Пластинка при этом изгибается по сферической поверхности и зависимость между кривизной и изгибающим моментом, согласно уравнению (в), имеет вид
Этими результатами мы будем пользоваться в дальнейшем.
Формулы (144) используются в теории пластинок, когда изгибающие моменты распределены неравномерно и сопровождаются присутствием поперечных сил и поверхностного давления. При этих условиях формулы (144) можно получить из общих уравнений главы 8 в качестве аппроксимации, справедливой лишь для тонких пластинок. Подобным же образом можно связать с общими уравнениями и элементарную теорию изгиба стержней.
