§ 162. Решения общих уравнений. Термоупругий потенциал перемещения

Любое частное решение уравнений (264) сводит задачу об определении температурных напряжений к обычной задаче о действии на тело поверхностных сил. Решение для с помощью равенств (а) и (б) § 153 и с использованием уравнений (2) приводит к значениям компонент напряжений. Требуемые поверхностные усилия, которые должны действовать вместе с неоднородным распределением температуры, чтобы вызвать эти напряжения, находятся затем из уравнений (124). Устранение этих усилий с целью освобождения границ от нагрузки, для того чтобы напряжения вызывались исключительно неоднородным распределением температуры, представляет собой обычную задачу о действии нагрузок на поверхности упругого тела.

Один из способов получения частных решений уравнений (264) состоит в том, что принимается

где — функция переменных а также времени если температура меняется со временем. Такая функция называется термоупругим потенциалом, перемещений.

Используя формулы (5) и (10), мы можем записать уравнения (264) в форме

Поскольку уравнения (а) приводят к формуле а соотношения (б) принимают вид

(второе и третье уравнения получены из первого заменой на Все эти три уравнения, очевидно, будут удовлетворяться, если принять функцию в форме решения уравнения

Решения уравнений этого типа рассматриваются в теории потенциала. Решение можно выписать в виде потенциала тяготения для распределения

вещества с плотностью который выражаегся формулой

где температура точки с координатами , определяющими положение элемента объема — расстояние между этой точкой и точкой с координатами Уравнение (д) дает полное решение задачи о температурных напряжениях в бесконечном теле, в котором температура равна нулю всюду, кроме некоторой нагретой или охлажденной области. Исследованы случаи, когда такая область имеет форму эллипсоида вращения и равномерно нагретого полубесконечного круглого цилиндра. Для случая области в виде эллипсоида максимальное напряжение, которое может возникнуть, равно и направлено по нормали к поверхности эллипсоида в точках наибольшей кривизны образующего эллипса. Такая величина напряжения встречается лишь для двух предельных случаев сильно сплюснутого или сильно вытянутого эллипсоидов вращения. В промежуточных случаях максимальные напряжения уменьшаются, а для сферической области соответствующее значение составляет две трети от вышеприведенного.

Когда Т не зависит от получаем случай плоской деформации, в котором , u и v не зависят от . Уравнение (г) принимает вид

Его частное решение дает логарифмический потенциал

где

Для тонкой пластинки при постоянной по толщине температуре Т мы можем считать напряженное состояние плоским, т. е. считать, что и функции не зависят от . Тогда зависимости между напряжениями и не зависят от Уравнение принимает вид

Подставляя эти значения напряжений в уравнения равновесия (18), при

отсутствии объемных сил получаем равенства

Эти уравнения удовлетворяются, если принять

где — решение уравнения

Сравнивая (м) с уравнением (е), мы видим, что частное решение (м) дается логарифмическим потенциалом которого в знаменателе отброшен множитель . Это дает полное решение задачи о локальном нагреве в бесконечной пластинке, в которой напряжения и деформации на бесконечности должны стремиться к нулю.

В качестве первого примера такого рода рассмотрим бесконечную пластинку, которая имеет температуру, равную нулю, всюду, за исключением прямоугольной области со сторонами (рис. 235), внутри которой температура постоянна и равна. Требуемый логарифмический потенциал имеет вид

Рис. 235.

В соответствии с формулами перемещения получаются с помощью дифференцирования, а затем с помощью формул (и) можно найти компоненты напряжения. В результате получается, что напряжения в точке Р вне нагретой прямоугольной области определятся выражениями

где обозначения углов и а также расстояний ясны из рис. 235. Упомянутые углы с вершиной в точке Р противолежат двум сторонам прямоугольника и параллельным оси х. Выражение для получается из первого уравнения (о) с использованием вместо и углов, противолежащих двум другим сторонам прямоугольника и

Значение в точке, лежащей чуть ниже и чуть левее точки А, равно

Для прямоугольника, бесконечно длинного в направлении оси оно является наибольшим и составляет При обходе вокруг угла прямоугольника обе нормальные компоненты напряжений резко меняются. Касательное напряжение при приближении к углу стремится к бесконечности. Эти особенности являются, разумеется, следствием идеальной заостренности углов нагретого прямоугольника.

Если нагретая область имеет не прямоугольную, а эллиптическую форму 1), с границей, заданной уравнением эллипса

то значение напряжения вблизи эллиптической границы, но вне ее, у конца большой оси составляет

что для очень узкого эллипса приближается к Если нагретая область является кругом, то напряжение в этой точке равно Значение конца малой оси составляет

и для очень узкого эллипса приближается к нулю.

Метод, изложенный в этом параграфе, становится особенно простым, когда температура, меняясь со временем, удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности 2)

где х — коэффициент теплопроводности, деленный на теплоемкость и плотность. Дифференцируя уравнение (г) по и затем подставляя выражение для из формулы находим, что функция должна удовлетворять уравнению

Следовательно, можно принять

Интеграл от этого выражения, пригодный для случая, когда температура со временем стремится к нулю, имеет вид

в чем можно убедиться путем подстановки в уравнение (г) и использования уравнения

В качестве примера рассмотрим длинный круговой цилиндр (случай плоской деформации), который охлаждается или нагревается до стационарного состояния. Распределение температуры не симметрично относительно оси, но не зависит от осевой координаты Температура в этом случае представляется

в форме ряда, члены которого имеют вид

где действительные и мнимые части равны Согласно уравнению (а) функция соответствующая этому температурному члену, будет иметь следующее выражение:

Ряд таких членов, отвечающий ряду для температуры Т, будет представлять частное решение общих уравнений (б). Перемещения можно вычислить с помощью уравнений (а) или их аналогов в полярных координатах:

где и и V — радиальная и окружная компоненты перемещения. Осевая компонента в случае плоской деформации равна нулю.

Компоненты деформации получаются с использованием результатов § 30. Компоненты напряжений после этого можно найти по формулам (а) и (б) для плоской деформации из § 153, а для компоненты воспользоваться последним из уравнений (51).

Когда такое решение получено, то в общем случае оказывается, что оно дает ненулевые усилия на криволинейной поверхности цилиндра. Влияние устранения этих усилий находится с помощью решения обычной задачи для плоской деформации с использованием общей функции напряжений в полярных координатах, приведенной в § 431).

В более общем случае можно включать в условия задачи внутреннее выделение тепла в единице объема со скоростью Тогда к правой части уравнения (п) нужно добавить член где с — теплоемкость, плотность. Выражение

удовлетворяет уравнению (г), если

Здесь в общем случае является функцией как переменной так и переменных а через обозначена температура Т в момент