§ 160. Двумерные задачи со стационарным потоком тепла

При наличии стационарного потока тепла, параллельного плоскости как это имеет место в тонкой пластинке или в длинном цилиндре при отсутствии изменения температуры в осевом (г) направлении, температура Т должна удовлетворять уравнению

Рассмотрим цилиндр (не обязательно круглый), находящийся в состоянии плоской деформации (при ). Соотношения между напряжениями и деформациями в декартовых координатах аналогичны уравнениям (а) и (б) в § 151 для случая плоской деформации. По аналогии с уравнениями (б) получаем

Зададимся теперь вопросом: могут ли быть равными нулю? Полагая в уравнениях (б) , находим

и, разумеется,

Эти компоненты деформации физически возможны лишь в том случае, если они удовлетворяют условиям совместности (125). Поскольку а остальные компоненты деформации не зависят от z, все условия (125), за исключением первого, удовлетворяются. Первое условие приводится к уравнению

Но с учетом соотношений (в) и (а) это уравнение также удовлетворяется. Отсюда мы находим, что при стационарном потоке

тепла уравнения равновесия, граничное условие, выражающее отсутствие нагрузки на криволинейной поверхности, и условия совместности удовлетворяются, если принять

Для сплошного цилиндра вышеприведенные условия являются полными, и мы можем сделать вывод, что при стационарном состоянии двумерной теплопередачи не будет температурных напряжений, за исключением осевого напряжения определяемого по формуле (г), которое служит для выполнения условия плоской деформации. В случае длинного цилиндра без связей, наложенных на концах, мы получаем приближенное решение, справедливое всюду, кроме окрестности концов, если наложить одноосное растяжение—сжатие и чистый изгиб таким образом, чтобы свести к нулю результирующие усилия и моменты по концам, связанные с напряжениями

Рис. 234.

Для полого цилиндра мы не можем, однако, сделать вывод, что формулы (г) служат решением задачи о плоской деформации. Необходимо исследовать соответствующие перемещения. Весьма возможно, что они окажутся разрывными, подобно тому, как это описано на стр. 95 и 104—105.

Допустим, например, что цилиндр представляет собой трубу и что в нем сделан продольный разрез, как показано на рис. 234, б. Если внутренняя часть стенки трубы теплее наружной, то труба будет стремиться развернуться, а щель будет раскрываться. Между двумя стенками щели будет иметь место разрыв перемещения. Следовательно, перемещение должно быть представлено разрывными функциями от 0. Поперечное сечение в этом случае является сплошным, т. е. односвязным, и напряжения для задачи плоской деформации даются в точности формулами (г). Однако если труба не имеет щели (рис. 234, а), разрывы перемещения физически невозможны. Это показывает, что принятое распределение температуры вызовет фактически компоненты напряжения которые представляют напряженное состояние, вызванное стягиванием друг к другу разделенных граней щели вплоть до их соединения. Такая операция повлияет также на компоненту

Для дальнейшего исследования этого вопроса перепишем уравнения (в) в виде

где . Поскольку мы можем запнсагь

а также

где — компонента вращения (см. стр. 243). Уравнения (е) и (ж) дают в этом случае

что в сочетании с соотношениями (д) приводит к условиям

Уравнения (к) представляют собой уравнения Коши—Римана, обсуждавшиеся в § 55. Они показывают, что функция является аналитической функцией комплексной переменной Обозначая эту функцию через получаем

Если - значения компонент в точках 1 и 2 поперечного сечения цилиндра, то разности можно выразить формулами

где интегралы берутся вдоль любой кривой, соединяющей эти две точки и лежащей целиком внутри сечения. Умножая второе соотношение на и складывая с первым, находим

С помощью уравнений (д) и (и) легко убедиться, что интеграл в правой части равен или Таким образом, уравнение (м) принимает вид

Перемещения будут однозначными, если этот интеграл обращается в нуль для любого замкнутого контура (например, для окружности, изображенной пунктиром на рис. 234), находящегося целиком в пределах поперечного сечения. Ниже мы воспользуемся этим результатом при решении задачи о температурных напряжениях в полом круглом цилиндре.

Для вращения (см. § 83) имеем зависимость

которая с использованием (к) приводится к виду

Поскольку деформация пропорциональна Т, этот интеграл пропорционален количеству тепла, проходящего за единицу времени через дугу единичной длины, вырезанную из кривой, соединяющей точки 1 и 2. Если эта кривая замкнутая, разность должна обращаться в нуль, и следовательно, должен быть равен нулю и общий поток тепла, пересекающий эту кривую Если поток тепла направлен от внутренней поверхности трубы к внешней или наоборот, это условие не выполняется, и формулы (г) для напряжения будут некорректны.

Однако если труба имеет разрез (щель), как показано на рис. 234, б, то перемещение или вращение в точке 2 могут отличаться от соответствующих величин в точке например, в том случае, когда нагрев вызывает раскрытие щели. Тогда простое напряженное состояние, определяемое формулами (г), будет корректным решением задачи. Чтобы прийти к напряженному состоянию в трубе при отсутствии щели, нам следует наложить напряженное состояние, вызываемое смыканием стенок, щели. Определение таких дислокационных напряжений включает решение задач типа, представленного на рис. 45 и 48.

Рассмотрим, например, полый круговой цилиндр с внешним радиусом центральным отверстием радиуса а. Если температура Т на внутренней поверхности распределена равномерно, а температура на внешней поверхности равна нулю, то температура Т в точке, определяемой любым радиусом дается формулой (п) из § 151. Мы можем записать эту формулу в виде

где

Постоянный член в формуле (о) можно отбросить, так как однородное изменение температуры не вызывает температурных напряжений. Далее, поскольку имеем

Обозначая через В, из уравнения (н) имеем

Это уравнение применимо к любой кривой, соединяющей точки 1 и 2 и целиком лежащей внутри сечения. Оно дает относительное перемещение этих двух точек для случая, когда температура определяется формулой (о), а напряжения — формулами (г).

Применяя это уравнение к круговому пути радиуса начинающемуся в точке 1 (рис. 234), огибающему отверстие, и заканчивающемуся в точке 2, поскольку имеем

Подставляя эту зависимость в находим

Относительное перемещение не равно нулю, и следовательно, нужно считать, что цилиндр имеет щель, ввиду наличия которой точка 2 может смещаться относительно точки 1 по вертикали на величину (рис. 234, б). Движение верхней стенки щели относительно нижней равносильно вращению на угол в направлении часовой стрелки относительно центра сечения цилиндра. При этом В отрицательно, если величина Т положительна. В этом случае щель раскрывается на величину центрального Задача о смыкании стенок такой щели уже решалась на стр. 95 для случая плоского напряженного состояния. Это решение можно преобразовать для случая плоской деформации с помощью подстановок, приведенных на стр. 446. Компоненты напряжения, получающиеся в результате, в сочетании с осевым напряжением получаемым по формулам (г), становятся тождественно равными компонентам, определяемым уравнениями (257) при отсутствии осевой силы.

Температуры на внутренней и внешней поверхностях цилиндра, изменяющиеся вдоль круговых границ, можно представить в виде рядов Фурье

Температурные напряжения, вызванные несколькими членами этих рядов, можно рассматривать раздельно, температурные напряжения, связанные постоянными членами рассматривались в предыдущем случае при Членам в функции Z соответствуют члены, пропорциональные

Теперь интеграл взятый вдоль полной окружности радиуса обратится в нуль (если только так как

Это выражение, очевидно, равно нулю, если только Если же то получаем

Таким образом, единственным членом в который дает ненулевое значение интеграла в правой части уравнения является член Отсюда следует, что члены, содержащие и высшие гармоники в рядах

представляющих температуры, не вызывают относительного перемещения двух граней щели в трубе с разрезом. Результирующий тепловой поток от внутренней поверхности трубы к ее внешней поверхности, отвечающий таким членам, равен нулю, и они вызывают только напряжения, определяемые формулами (г).

Членами в рядах которые приводят к членам, содержащим в функции являются члены с При этом достаточно рассмотреть лишь члены с так как влияние членов с можно получить из формул, соответствующих изменив начало отсчета . В связи с этим рассмотрим лишь

Задача об отыскании стационарного распределения температуры, отвечающего этим ее значениям на границах, решается, если считать температуру Т действительной частью функции

и найти такие значения при которых удовлетворяются условия Эти значения таковы:

Член отвечает значению функции

Внося это значение в уравнение находим, что разрыв в перемещении определяется формулой

откуда

Это означает, что верхняя граница разреза на рис. 234 перемещается вниз на величину в пространство, занимаемое нижней гранью и находящимся под ней матерййлом. Физически это, разумеется, невозможно, и этому препятствуют действующие между гранями усилия, достаточные для создания противодействующего перемещения. Напряженное состояние, вызываемое этими противодействующими перемещениями, определяется так, как это описано в конце § 43, но теперь уже, конечно, для случая плоской деформации.

Для этого случая получаем

и аналогично тому, как получена формула (а) § 151, находим

здесь

Если концы свободны, то следует также рассмотреть осевые напряжения, связанные со снятием усилий и моментов на каждом конце.