Глава 11. ИЗГИБ БРУСЬЕВ

§ 120. Изгиб консоли

При рассмотрении чистого изгиба (§ 102) было показано, что если брус изгибается в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными по знаку моментами, приложенными в этой плоскости к концам бруса, то изгиб происходит в той же плоскости и из шести компонент напряжения отлично от нуля лишь нормальное напряжение, параллельное оси стержня. Это напряжение пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Таким образом, в этом случае точное решение совпадает с решением элементарной теории изгиба. При рассмотрении изгиба консоли узкого прямоугольного поперечного сечения силой, приложенной на конце (§ 21), было показано, что кроме нормальных напряжений, пропорциональных в каждом поперечном сечении изгибающему моменту, будут действовать также касательные напряжения, пропорциональные поперечной силе.

Рис. 190.

Рассмотрим теперь более общий случай изгиба консоли постоянного поперечного сечения произвольной формы под действием силы Р, приложенной на конце и параллельной одной из главных осей поперечного сечения (рис. 190). Возьмем начало координат в центре тяжести заделанного конца консоли. Пусть ось z совпадает со средней линией бруса, а оси х и у совпадают с главными осями поперечного сечения. Для решения задачи применим полуобратный метод Сен-Венана и с самого начала сделаем некоторые предположения относительно распределения напряжений. Допустим, что нормальные напряжения в некотором сечении на расстоянии z от заделанного конца распределяются таким же

образом, как и в случае чистого изгиба:

Допустим также, что в тех же поперечных сечениях действуют касательные напряжения, которые мы разложим в каждой точке на компоненты . Предположим, что три остальные компоненты напряжений равны нулю. Покажем теперь, что если нагрузка Р на конце и реакции в сечении распределены таким образом, как этого требует решение, то, используя эти предположения, мы придем к решению, которое удовлетворяет всем уравнениям теории упругости и является в силу этого точным решением задачи.

При сделанных предположениях, пренебрегая объемными силами, дифференциальные уравнения равновесия (123) можно записать в виде

Из уравнений (б) заключаем, что касательные напряжения не зависят от z и для каждого поперечного сечения бруса одинаковы.

Рассматривая теперь граничные условия (124) и применяя их к боковой поверхности стержня, свободной от внешних сил, получаем, что первые два из этих уравнений удовлетворяются тождественно, а третье дает

Из рис. 190, б мы видим, что

где — элемент кривой, ограничивающей поперечное сечение. Тогда условие на границе принимает вид

Обратившись к уравнениям совместности (126), мы убеждаемся» что первые три из этих уравнений, содержащие нормальные компоненты напряжения, и последнее, содержащее удовлетворяются тождественно. Тогда система уравнений (126) сводится к двум уравнениям

Таким образом, решение задачи об изгибе призматической

консоли произвольного поперечного сечения приводится к отысканию и как функций от х и у, удовлетворяющих уравнениям равновесия (в), граничному условию (г) и уравнениям совместности (д).