§ 90. Энергия деформации

Если однородный стержень подвергается простому растяжению, то при удлинении стержня силы, приложенные к его концам, совершат некоторую работу.

Таким образом, если на элемент стержня, показанный на рис. 130, действует лишь одно нормальное напряжение то соответствующая сила совершает работу на перемещении

Зависимость между этими двумя величинами в процессе нагружения изображается прямой линией ОА на рис. а работа, совершенная в процессе деформации, определяется площадью треугольника . Обозначая эту работу через имеем

Рис. 130.

Очевидно, что такая же работа совершается во всех подобных элементах, если они имеют тот же объем. А теперь зададимся вопросом: что стало с этой работой, в какой вид или виды энергии она перешла?

Адиабатическое сжатие газа вызывает повышение его температуры. Когда адиабатически сжимается обычный стальной стержень, происходит аналогичное, очень малое повышение температуры. Начальная температура может быть восстановлена затем путем отнятия тепла. Такое изменение температуры изменяет и деформацию, однако это изменение касается очень малой доли адиабатической деформации. Если бы это было не так, то между адиабатическим и изотермическим модулями упругости наблюдалось бы значительное различие. В действительности это различие для обычных металлов очень мало. Например, адиабатический модуль Юнга для железа превышает изотермический модуль всего на 0,26%. Такого рода различиями мы будем здесь пренебрегать. Работа, затраченная на деформацию элемента, переходит в накапливаемую в нем энергию, называемую энергией деформации. При этом предполагается, что элемент остается упругим и не образуется кинетическая энергия.

Те же соображения используются и в том случае, когда на элемент действуют все шесть компонент напряжения (рис. 3). Сохранение энергии требует, чтобы работа зависела только от конечных значений, но не от порядка, в котором прикладываются силы. В противном случае, производя нагружение в одном порядке, а разгрузку — в другом, мы могли бы получить большее количество работы. Следовательно, при полном цикле деформирования из элемента можно было бы извлечь некоторую величину работы.

Определение совершенной работы проще всего произвести, если силы или напряжения возрастают одновременно в одном и том же отношении. Тогда зависимость между каждой силой и соответствующим ей перемещением остается линейной, как показано на рис. 130, б, и работа, совершенная этими силами, равна

где

Таким образом, представляет собой суммарную работу, приходящуюся на единицу объема, или энергию деформации в единице объема.

В предыдущих рассуждениях напряжения на противоположных гранях элемента считались равными и предполагалось, что объемных сил нет. Рассмотрим теперь работу, совершенную над элементом, когда напряжения по

объему тела изменяются и имеются объемные силы. Рассмотрим сначала усилие на грани 1 элемента (рис. 130, а); оно совершает работу на перемещении и этой грани, и величина этой работы равна где индекс 1 показывает, что функции и и должны определяться в точке . Сила на грани 2 совершает работу . Полная работа на обеих гранях

в пределе будет равна

Вычисляя работу, совершенную касательными напряжениями на гранях 1 и 2 и складывая ее с работой, определяемой выражением (г), находим работу, совершенную на обеих гранях всеми тремя компонентами напряжения:

где — компоненты перемещения в направлениях Подобным же образом может быть определена работа, совершенная на двух других парах граней. Для полной работы, совершенной напряжениями на всех этих гранях, получаем выражение

При нагружении тела объемные силы и прочие совершают работу

Полная работа, совершенная над элементом, представляется суммой работ Выполняя в (д) дифференцирование, находим для этой полной работы выражение

Согласно уравнениям равновесия (123), выведенным в § 84, множители в скобках при равны нулю. Величины, умножаемые на компоненты напряжения, согласно формулам (2), равны соответственно. Следовательно, полная работа, совершенная над элементом, сводится к значению, определяемому выражениями (б) и (в). Таким образом, эти формулы будут определять работу, совершенную над элементом упругого тела, или энергию, накопленную им, и в том случае, когда напряжения распределены по телу неоднородно и имеются объемные силы.

С помощью закона Гука (см. равенства (3) и (6)) мы можем выразить функцию определяемую равенством (в), как функцию одних только компонент напряжения:

Легко проверить, что

где -инварианты напряжения, введенные в § 79.

Поступая несколько иначе, мы можем использовать соотношения (11) и выразить как функцию одних только компонент деформации. Тогда

где

Формула (132) непосредственно показывает, что величина всегда положительна.

Легко показать, что производная от функции , определяемой формулой (132), по любой компоненте деформации дает соответствующую компоненту напряжения. Так, например, взяв производную по и используя первое из соотношений (11), находим, что

Для случая плоского напряженного состояния, в котором выражение (131) принимает вид

или через компоненты деформации

Полная энергия диформации V деформируемого упругого тела получается из энергии деформации в единице объема путем интегрирования. Обозначая элемент объема через получаем

Эта формула определяет полную работу по преодолению сопротивления внутренних сил, совершенную при нагружении. Если мы представим себе тело как совокупность очень большого числа частиц, соединенных пружинами, то эта формула будет представлять работу, совершаемую при растяжении и сжатии пружин. Для получения работы, которую совершили над частицами тела внутренние силы, нужно поменять знак на обратный.

Величина энергии деформации, накопленной в единице объема материала, иногда используется как критерий для определения предельного напряжения,

при котором происходит разрушение Чтобы согласовать теорию с тем фактом, что изотропные материалы могут выдерживать очень большие гидростатические давления без возникновения течения, было предложено разделить энергию деформации на две части, одна из которых связана с изменениями объема, а другая — со сдвигами, и считать, что прочность определяется лишь второй частью энергии 2).

Мы знаем, что изменение объема пропорционально сумме трех нормальных компонент напряжения (см. формулу (8)), так что если эта сумма равна нулю, то деформация связана только с изменением формы. Каждую компоненту напряжения можно разложить на две части

где

Поскольку отсюда

напряженное состояние вызывает только формоизменение, а изменение объема зависит лишь от величины равномерного растяжения Часть полной энергии, связанная с этим изменением объема, согласно формуле (8), равна

Вычитая это выражение из (131) и используя тождество

мы можем представить ту часть полной энергии, которая связана с формоизменением, в виде

В случае простого растяжения в направлении х отлична от нуля только величина и энергия формоизменения (136) равна . В случае чистого сдвига, скажем, между плоскостями от нуля отлична только - компонента и энергия формоизменения равна Если верно, что при любой системе напряжений разрушение происходит тогда, когда энергия формоизменения достигает определенного предела (характерного для материала),

то отношение между критическим значением самого по себе растягивающего напряжения и самого по себе касательного напряжения находятся из уравнения

откуда

Эксперименты со сталью показывают, что отношение между пределом текучести на растяжение и пределом текучести на сдвиг находится в очень хорошем согласии с уравнением Вводя в рассмотрение энергию деформации, можно связать принцип Сен-Венана (см. стр. 57) с накоплением энергии. Этот принцип эквивалентен утверждению, что самоуравновешенное распределение усилий на малой части упругого тела вызывает лишь местные напряжения.

При таком распределении приложенные усилия совершают работу лишь за счет деформации нагруженной области. Зафиксируем положение и ориентацию некоторого поверхностного элемента этой области. Если обозначить через порядок величины (например, среднее значение) силы, действующей на единицу площади, а через а — характерный линейный размер (например, диаметр) нагруженной части, то компоненты деформации будут иметь порядок а относительные перемещения в пределах нагруженной части будут порядка Совершенная работа будет иметь порядок или

С другой стороны, компоненты напряжения порядка вызывают энергию в единице объема порядка Следовательно, в соответствии с формулировкой принципа совершенная работа достаточна лишь для объема порядка

Здесь предполагалось, что тело имеет строго заданную форму и следует закону Гука. Последнее ограничение можно снять, если считать, что Е в вышеприведенных рассуждениях определяет просто порядок величины наклона кривых напряжения — деформация для рассматриваемого материала. Если тело не является существенно трехмерным, как это имеет место, например, в случае балки с очень тонкой стенкой или тонкой цилиндрической оболочки, то самоуравновешенное распределение усилий на одном конце может передаваться на расстояния, во много раз превышающие высоту балки или диаметр оболочки 3).

Приведенные выше рассуждения можно без изменения повторить для нагрузки с ненулевой результирующей, если в пределах нагруженной части или вблизи нее имеется закрепленный элемент поверхности. Таким образом, если деформируемый материал скреплен с абсолютно твердым, то давление, приложенное к малой части первого материала вблизи закрепления вызовет лишь местные напряжения.