§ 81. Деформации в точке тела

Для исследования деформаций в окрестности некоторой точки О деформируемого тела (рис. 128) рассмотрим малый линейный элемент длиной с направляющими косинусами Проекции этого малого элемента на координатные оси имеют вид

Эти проекции равны координатам точки в осях для которых есть начало координат. Если через обозначить компоненты перемещения точки О в процессе деформации тела, то соответствующие перемещения соседней точки можно будет

представить следующим образом:

Здесь предполагается, что величины малы, и следовательно, члены с высшими степенями и с произведениями этих величин в выражениях (б) можно опустить, как величины более высокого порядка малости. Координаты точки после деформации принимают вид

Рис. 128.

Следует отметить, что эти координаты являются линейными функциями начальных координат следовательно, деформация в очень малом элементе тела в точке 0 может считаться однородной (§ 80).

Рассмотрим удлинение элемента вызванное этой деформацией. Квадрат длины рассматриваемого элемента после деформации равен сумме квадратов координат, определяемых формулами (в). Отсюда, если — это относительное удлинение элемента, получаем

или, после деления на и использования формул (а),

Учитывая, что и производные являются малыми величинами, так что их квадратами и произведениями можно пренебречь, и использовав зависимость можно привести соотношение (г) к виду

Следовательно, удлинение элемента можно определить, если известны выражения Используя обозначения

можно представить выражение (116) в форме

Физический смысл величин уже обсуждался (см. § 5) и было показано, что величины являются относительными удлинениями в направлениях осей а величины — тремя деформациями сдвига, отнесенными к тем же направлениям. Сейчас мы увидим, что если заданы шесть компонент деформаций, то удлинение любого элемента проходящего через точку О, можно определить из выражения (117).

В частном случае однородной деформации компоненты перемещения являются линейными функциями координат. Следовательно, согласно уравнениям (д), компоненты деформаций по объему тела постоянны, т. е. в этом случае каждый элемент тела испытывает одну и ту же деформацию.

При исследовании деформаций вблизи точки О иногда требуется узнать изменение угла между двумя линейными элементами, проходящими через эту точку. Используя формулы (в) и (а) и считая малой величиной, получаем для направляющих косинусов элемента (рис. 128) после деформации выражения

Взяв другой элемент проходящий через ту же точку, но имеющий направляющие косинусы получаем для величин этих косинусов после деформации выражения, аналогичные соотношениям (е). Косинус угла между этими двумя элементами после деформации равен

Считая удлинения в и в этих двух направлениях малыми величинами и

используя соотношения (е), находим

Если направления перпендикулярны друг другу, то и соотношение (118) определяет величину сдвига между этими двумя направлениями.