§ 166. Волны расширения и волны искажения в изотропной упругой среде

При исследовании распространения волн в упругой среде удобно воспользоваться дифференциальными уравнениями в перемещениях (127). Чтобы из этих уравнений равновесия получить уравнения движения при малых перемещениях, достаточно лишь добавить к ним инерционные члены. Тогда уравнения движения, в предположении отсутствия объемных сил, примут вид

где — объемное расширение, а символ обозначает операцию

Предположим вначале, что при производимых волнами деформациях объемное расширение равно нулю, т. е. что деформации состоят лишь из искажений сдвига и вращений. Тогда уравнения (269) приведугся к форме

Мы получили уравнения волн, называемых эквиволюминальными волнами или волнами искажений.

Рассмотрим теперь случай, когда деформации, производимые волнами, не сопровождаются вращениями. Вращение любого элемента среды определяется формулами (см. § 83)

Следовательно, условие, что деформации не сопровождаются вращениями, можно представить в форме

Если эти условия удовлетворяются, перемещения можно вывести из одной функции следующим образом:

Тогда имеем

Подставляя эти выражения в уравнения (269), находим, что

Волны, определяемые этими уравнениями, называются безвихревыми волнами или волнами расширениях).

Общий случай распространения волн в упругой среде получается в результате суперпозиции волн искажения и волн расширения. Для обоих видов волн уравнения движения выражаются в общей форме

где для случая волн расширения

и для случая волн искажения

Покажем теперь, что величины представляют собой скорости распространения волн расширения и искажения.