§ 60. Криволинейные координаты

Можно рассматривать полярные координаты (рис. 113) как координаты, определяющие положение точки пересечения окружности (радиуса ) и радиальной прямой (проведенной под углом к начальной прямой). Переход от декартовых координат к полярным осуществляется с помощью формул

Первая из них, когда принимает различные постоянные значения, представляет семейство окружностей. Вторая, когда принимает различные постоянные значения, представляет семейство радиальных прямых.

Уравнения (а) представляют собой частный случай уравнений вида

Если постоянны, то эти уравнения определяют две кривые, которые будут пересекаться, если подобрать соответствующим образом. Различные значения приведут к разным кривым и разным точкам пересечения. Таким образом, каждая точка в плоскости будет характеризоваться определенными значениями и -значениями, при которых эти две кривые, определяемые уравнениями (б), через нее проходят. Величины можно рассматривать как координаты точки. Поскольку заданные значения и определяют точку пересечения двух кривых, они называются криволинейными координатами 1).

Полярные координаты и соответствующие им компоненты напряжения оказались весьма полезными для задач с границами в виде концентрических окружностей, рассмотренных в главе 4. Напряжения и перемещения на таких границах зависят только от , поскольку — величина постоянная. Когда границы определяются другими кривыми, например эллипсами, удобно использовать криволинейные координаты, одна из которых вдоль границы имеет постоянное значение.

Если разрешить уравнения (б) относительно х и у, мы будем иметь два уравнения вида

с которых обычно удобнее начинать изучение. Рассмотрим, например, два уравнения

где с — постоянная. Исключив получим уравнение

Если — постоянная, то это уравнение эллипса с полуосями и фокусами в точках Для различных значений мы получим разные эллипсы теми же фокусами, т. е. семейство софокусных эллипсов (рис. 115). На каждом из таких эллипсов координата постоянна, а изменяется в диапазоне от 0 до подобно тому как в полярных координатах на окружности остается постоянным, а угол меняется. В действительности в данном случае — эксцентрический угол точки на эллипсех).

С другой стороны, если из уравнений (г) исключить , то с помощью равенства получаем

Рис. 115.

При постоянном значении это уравнение представляет гиперболу с тем же фокусом, что и у эллипса. Таким образом, уравнение (д) описывает семейство софокусных гипербол, на каждой из которых остается постоянным, а изменяется. Такие координаты называются эллиптическими.

Два уравнения (г) эквивалентны уравнению или

где Очевидно, это частный случай соотношения

Помимо того, что равенство (ж) определяет как функцию , его можно разрешить относительно . В таком случае будут действительной и мнимой частями функции поэтому они должны удовлетворять уравнениям Коши—Римана (д) из § 55, а следовательно, и уравнению Лапласа (е) или (ж) из § 55.

Криволинейные координаты, которые используются в этой главе, будут выводиться из соотношений в форме (ж) и вследствие этого будут обладать некоторыми специальными свойствами.

Если точка имеет криволинейные координаты то соседняя точка будет иметь криволинейные координаты в силу чего, пользуясь двумя уравнениями типа (в), мы можем записать

Если изменяется только координата то приращения соответствуют элементу дуги вдоль кривой и

Отсюда

Поскольку получаем

где

Теперь любую комплексную величину можно записать в форме , или , где — действительные числа. Если

то уравнение (м) дает

и тогда из уравнения

Тангенс угла наклона отрезка из уравнений определяется формулой

Таким образом, величина а, определяемая уравнением представляет собой угол между касательной к кривой в направлении увеличения и осью х (рис. 116). Точно так же, если изменяется приращения из уравнений (и) соответствуют элементу дуги взятому вдоль кривой и вместо уравнений (к) получаем

Действуя вышеописанным образом, находим

и что , а также

Сравнивая этот последний результат с уравнением видим, что кривые пересекаются под прямым углом и направление увеличения составляет угол с осью х (рис. 116).

Рис. 116.

Рассмотрим, например, эллиптические координаты, определяемые уравнением (е). Получаем

Сравнивая действительные и мнимые части в последнем уравнении, получаем

откуда