§ 6. Закон Гука

Линейные соотношения между компонентами напряжений и компонентами деформаций называют обычно законом Гука. Представим себе элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, подверженный действию нормального напряжения равномерно распределенного по двум противоположным граням, как это имеет место в опыте на растяжение. Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение элемента дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Материалы, используемые в инженерных конструкциях имеют модули, очень большие по сравнению с допускаемыми напряжениями, в силу чего относительное удлинение, определяемое по формуле (а), является очень малой величиной. Например, для конструкционных сталей оно обычно меньше чем 0,001.

Такое удлинение элемента в направлении оси х сопровождается сужением в поперечном направлении (сжатием), определяемым компонентами деформаций

где — константа, называемая коэффициентом Пуассона. Для многих материалов коэффициент Пуассона можно принять равным 0,25. Для конструкционных сталей он обычно считается равным 0,3.

Зависимости (а) и (б) можно использовать также в случае простого сжатия. При сжатии модуль упругости и коэффициент Пуассона обычно имеют те же значения, что и при растяжении.

Если рассматриваемый элемент подвергается одновременному действию нормальных напряжений равномерно распределенных по его граням, то получающиеся в результате компоненты деформаций можно получить из выражений (а) и (б). Производя наложение компонент деформаций, вызванных каждым из трех напряжений, получаем соотношения

Эти соотношения, подтверждаются многочисленными экспериментальными измерениями.

В последующем мы будем часто использовать выше примененный метод наложения, или суперпозицию, для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами. Он является законным до тех пор, пока деформации малы, а соответствующие им малые перемещения не влияют существенно на действие внешних сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела, а также малыми перемещениями точек приложения внешних сил, и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела. Получающиеся в результате перемещения можно находить с помощью суперпозиции в виде линейных функций внешних усилий, как это было сделано при выводе соотношений (3).

Существуют, однако, особые случаи, в которых малыми деформациями нельзя пренебрегать и следует их учитывать. В качестве примера такого рода можно назвать случай одновременного действия осевой и поперечной нагрузки на тонкий стержень. Сами по себе осевые силы вызывают простое растяжение или сжатие, однако если они действуют одновременно с поперечной нагрузкой, то оказывают существенное влияние на изгиб стержня. При определении деформаций стержня в таких условиях, несмотря на малость прогибов, нужно учитывать их влияние на момент от внешних сил. Теперь уже полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения.

В соотношениях (3) зависимости между удлинениями и напряжениями полностью определяются двумя физическими константами Е и . Те же константы можно использовать и для определения зависимости между деформацией сдвига и касательным напряжением.

Рис. 7.

Рассмотрим частный случай деформации прямоугольного параллелепипеда, когда Вырежем элемент плоскостями, параллельными оси х и наклоненными под углом 45° к осям у и (рис. 7).

Как следует из условий равновесия элемента (рис. 7, б), нормальные напряжения на всех гранях элемента равны нулю, а касательные напряжения

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Удлинение вертикального элемента равно укорочению горизонтальных элементов откуда (пренебрегая малыми величинами второго порядка) следует, что длины отрезков элемента при деформации не изменяются. Угол между гранями изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига 7 можно найти из треугольника Таким образом, в результате деформации имеем

Подстановка из равенств (3) дает

Замечая, что при малых у

находим

Таким образом, зависимость между деформацией сдвига и касательным напряжением определяется константами Е и Часто используется обозначение

С его учетом равенство (4) принимает вид

Константа определяемая уравнением (5) называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, как показано на рис. 3, искажение угла между двумя пересекающимися гранями зависит только от соответствующих компонент касательного напряжения. Отсюда получаем

Компоненты деформаций, характеризующие удлинения (3) и искажения (6), не зависят друг от друга. Общий случай деформации, производимой тремя нормальными и тремя касательными компонентами напряжений, можно получить с помощью наложения: на три удлинения, определяемые выражениями (3), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (6).

Уравнения (3) и (6) определяют компоненты деформаций как функции компонент напряжения. Иногда требуется выразить компоненты напряжений в функции компонент деформаций. Их можно получить следующим образом. Складывая уравнения (3) и используя обозначения

получаем следующую зависимость между объемным расширением и суммой нормальных напряжений 0

Для случая равномерного гидростатического давления с интенсивностью имеем

Тогда из (8) получаем

Эта формула представляет собой зависимость между относительным объемным расширением и гидростатическим давлением

Величина называется модулем объемного расширения.

Используя обозначения (7) и решая уравнения (3) относительно находим

Используя обозначение

и выражение (5), эти формулы можно привести к виду