§ 172. Взрывное давление в сферической полости

Если в уравнении (283) отбросить функцию то задача сведется к определению одной функции удовлетворяющей граничным условиям задачи, а также начальным условиям.

Начальные условия состоят в том, что в момент бесконечная среда со сферической полостью имеет всюду равные нулю

перемещения и равные нулю скорости. При на границе полости действует давление, определяемое произвольной заданной функцией . В этом состоит одно из граничных условий. Другое граничное условие состоит в том, что материал на бесконечности остается невозмущенным.

Поскольку мы имеем граничное условие при , удобно использовать вместо выражения (283) форму

Тогда при получаем Кроме того, с физической точки зрения представляет собой время, за которое сигнал, посланный в момент от границы радиуса а, достигает границы радиуса . Вводя обозначения находим из формул (д) и (в) (§ 171)

Краевое условие на границе полости имеет вид при Подставим это значение в левую часть уравнения (в) и положим в правой части учитывая при этом, что Таким образом, граничное условие приводит к соотношению

где штрих теперь означает дифференцирование по и

Обыкновенное дифференциальное уравнение (д) принадлежит к классу уравнений вида

где -постоянные. Это уравнение хорошо известно в динамике как описывающее вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с учетом вязкого демпфирования. Его общее решение может быть выражено в виде

Здесь произвольные постоянные общего решения однородного уравнения, в котором — два корня квадратного характеристического уравнения относительно z вида

Входящая под знак интеграла, который представляет частное решение неоднородного уравнения (ж), функция получается из функции

Последняя является общим решением однородного уравнения с постоянными выбранными таким образом, что

Частное решение уравнения (д), отвечающее интегралу в формуле (и), имеет вид

где теперь

a ( определяется формулой (е)) являются действительными положительными числами. Хотя являются здесь комплексными числами, правая часть уравнения (н) действительна.

Теперь мы можем показать, что частное решение (н) полностью определяет решение задачи о взрыве. Начальное условие равенства нулю перемещения, согласно уравнению (б) при требует

Начальное условие равенства нулю скорости можно получить из выражения для первой производной уравнения (б) по

положив здесь . Тогда это условие принимает форму

До сих пор мы рассматривали в качестве аргумента функции лишь положительные значения . Однако в начальных условиях аргументом служит выражение

которое для рассматриваемой нами области отрицательно. В силу этого функцию нужно определить для любого действительного аргумента как положительного, так и отрицательного.

Дадим следующее определение: функция определяется формулой приведенной выше, когда аргумент представленный вместо положителен, и та же функция равна нулю, когда величина отрицательна.

Тогда, если величина отрицательна, производные также равны нулю, и начальные условия удовлетворяются. Кроме того, из (и) следует, что при положительном

Отсюда, учитывая уравнение (б), получаем, что перемещение в точке, определяемой радиусом остается нулевым, пока т. е. пока а затем это значение изменяется непрерывно. Кроме того, отсюда следует, что на бесконечности материал остается неподвижным. Если мы рассмотрим весь диапазон изменения в любой момент времени, разрывов в перемещениях не встретится, как того и требуют физические условия. Отсюда ясно, что определение, данное для функции удовлетворяет всем условиям задачи.

Внезапно приложенное постоянное давление внутри полости. В этом случае мы можем принять при . Тогда в уравнении (н) имеем и интеграл легко вычисляется. В результате после замены на имеем

Используя это выражение в уравнениях легко найти перемещение и напряжение. С. Хантер (см. статью Гопкинса) определил относительную разность напряжений на границе полости как функцию от безразмерного времени При когда внезапно прикладывается давление, это отношение возрастает скачком до 0,592. Затем оно повышается до 1,75 при и асимптотически падает до 1,5, что является значением, соответствующим статической задаче.