§ 67. Определение комплексных потенциалов по заданным граничным условиям. Методы Н. И. Мусхелишвили

В предыдущих параграфах был решен ряд задач с помощью некоторого разумного выбора комплексных потенциалов относительно простой формы, наделенных соответствующими свойствами. Однако существуют более мощные и общие методы отыскания

потенциалов непосредственно из заданных граничных условий, с помощью дальнейшего использования теории функций комплексного переменного.

В § 59 мы обнаружили, что компоненты усилия передаваемого по дуге проведенной в материале, даются равенством (90)

Дуга А В может составлять часть замкнутой границы, например, границы отверстия, показанного на рис. 121. Тогда, если двигаться от точки А к точке В так, чтобы материал оставался слева, действующие на него силы будут равны

Рис. 121.

Примем теперь точку А за фиксированную точку на границе отверстия, а В за типичную точку на Считая, что нагрузка на границе отверстия задана, находим силы как функции (рис. 121) в виде

(где — действительные функции. В уравнении (90) значение величины в скобках в левой части для фиксированной точки А является некоторой постоянной С. Обозначая через z координату подвижной точки В, можно выразить граничные условия на краю отверстия в форме

Для определения из этого уравнения двух комплексных потенциалов удобно заменить комплексную переменную z для любой точки в физической области новой комплексной переменной , связанной зависимостью

где — подобранная соответствующим образом функция . Такое соотношение использовалось ранее [уравнение (стр. 193)] для определения вида криволинейных координат. Теперь удобно принять иную, хотя и близкую по смыслу, геометрическую интерпретацию этой функции как конформного отображения.

Точка определяемая комплексной координатой в плоскости (рис. 122, б) соответствует точке Р (или отображается в точку Р) на плоскости z (рис. 122, а), где z определяется формулой . В общем случае гладкая кривая отображается в другую гладкую кривую Для задач теории упругости,

в которых рассматривается одно некруговое отверстие в бесконечной области, функция, осуществляющая конформное отображение, будет выбираться таким образом, чтобы единичная окружность на плоскости отображалась на кривую При этом вместо прямоугольных координат удобно использовать полярные координаты Функция кроме того, будет выбираться таким образом, чтобы любая точка Р (внутри окружности или на ней) отображалась только в одну точку Р.

Рис. 122.

Эта функция должна быть аналитической в каждой точке Р, которая отображается в «материальную» точку Р. В качестве такой функции можно взять разложение в ряд Лорана

где — постоянные.

Тогда любая функция от z, скажем, или будет также функцией от , получаемой заменой на

Отсюда

Переходя к функциям от , мы несколько изменим обозначения, используя символы в другом смысле, а именно: функция в формулах (в) будет записываться в виде

а функция в формулах (в) в виде

Если переписать граничное условие (99) в этих новых обозначениях, то первый член в левой части станет равным просто Третий член станет равным и получается с помощью замены каждого символа в выражении на Во втором члене в левой

части (99) нужно заменить на Прежде чем заменить следует учесть, что

и

В соответствии с этим второй член в (99) заменится выражением

В правой части выражения (99) мы имеем комплексную функцию положения точки на кривой Соответствующая точка на единичной окружности может быть определена координатой 0 или Полагая

мы замечаем, что а есть в действительности значение для характерной точки на единичной окружности. Таким образом, правую часть уравнения (99) можно выразить как функцию от и записать

Постоянную С в выражении (99) можно исключить с помощью простого добавления соответствующей постоянной к (или к причем такое изменение не повлияет на распределение напряжений. Функция соответствует нагрузке, приложенной между точками А и В, которая, согласно уравнению (а), задается в виде

После этого граничное условие (99) принимает вид

Это условие и служит основным в методах Н. И. Мусхелишвили. Измененные обозначения совпадают с теми, которые использованы в книге, указанной в сноске на стр. 205. Здесь излагаются лишь начала методов, описанных в этой книге.