§ 2. Треугольные конечные элементы в плоской задаче теории упругости

Пусть двумерная среда разбита на треугольные конечные элементы (рис. 1). Перемещение каждой из вершин треугольника (рис. 2) выражается компонентами которые являются основными неизвестными задачи.

Рис. 1.

Рис. 2.

Шесть компонент перемещений образуют для каждого элемента шестимерный вектор

Перемещения в пределах рассматриваемого конечного треугольного элемента зададим в виде линейных зависимостей от координат

где — коэффициенты, которые в пределах каждого элемента сохраняют постоянные значения. Поскольку зависимости (5) являются уравнениями прямых (при постоянных), совмещение вершин двух соседних элементов (скажем, и ) обеспечивает совместность перемещений на общей границе этих элементов (на рис. 1 они заштрихованы). Это объясняется тем, что через две точки можно провести лишь одну прямую. В соответствии с зависимостями (2) главы 1, соотношения (5) показывают, что принятому распределению перемещений отвечает однородная деформация в пределах каждого элемента. Коэффициенты можно определить, если известны перемещения вершин

элемента. Например, для перемещений справедливы уравнения

Разрешая эти уравнения по правилу Крамера, находим

где

— удвоенная площадь треугольника , а прямые скобки обозначают определитель. Аналогично можно определить коэффициенты Если раскрыть определители в числителях выражений (в) и подставить значения то получим для и и формулы

где использованы обозначения

Коэффициенты с другими индексами получаются с помощью циклической перестановки и поэтому здесь не приводятся. Формулы (г) позволяют выразить перемещения в любой точке внутри треугольного конечного элемента через перемещения его вершин.

Применяя формулы (а) (стр. 47), можно выразить через перемещения вершин треугольника (в дальнейшем будем называть их узлами) деформации внутри конечного элемента

Используя определение зависимости (1), можно с учетом (5) переписать (е) в матричной форме

или

где

Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука (§ 6) при плоском напряженном состоянии

или в матричной форме

где

Матрицы содержат всю информацию о рассматриваемом упругом теле; матрица определяет его упругие характеристики, а матрица - геометрические характеристики каждого конечного элемента.

В случае плоской деформации изменения касаются одной лишь матрицы которая (см. формулу (26) главы 2) принимает вид

Для составления канонических уравнений метода перемещений, обеспечивающих равновесие каждого узла сетки конечных элементов, удобно воспользоваться принципом возможных перемещений.

Обозначим через узловые нагрузки, которым соответствуют перемещения так, чтобы компоненты этих двух векторов совпадали по направлениям. Придадим узлам сетки конечных элементов некоторые кинематически возможные перемещения которые отвечают деформациям Тогда работа внешних сил, приложенных в узлах для всего элемента, выразится в виде

а работа внутренних сил — напряжений в единице объема — будет равна

или, с учетом (4) и (6),

Чтобы найти работу внутренних сил по всему конечному элементу, нужно умножить последнее выражение на постоянную толщину тела и проинтегрировать по всей области. Полученная таким образом работа внутренних сил должна равняться работе внешних сил, откуда

так как

Поскольку это уравнение должно выполняться для любых кинематически допустимых значений ему должны удовлетворять покомпонентно векторы откуда

Подставим сюда значение из (к) и получим

Наконец, подставляя из (6) значение имеем

Зависимость (7) позволяет выразить усилия, действующие на узлы сетки конечных элементов, через соответствующие перемещения этих узлов. Эта матричная зависимость записывается обычно в виде

где матрица

носит название матрицы жесткости рассматриваемого элемента. Она не зависит от действующих на элемент нагрузок и может быть вычислена для каждого элемента отдельно от них. С физической стороны компоненты этой матрицы представляют собой

коэффициенты канонических уравнений метода перемещений для расчета одного элемента.

Перейдем теперь от описания одного элемента к описанию совокупности элементов. Пусть в узлах элемента действуют внешние силы, определяемые вектором Если бы тело состояло из одного элемента, то канонические уравнения метода сил имели бы вид (8), где вместо пришлось бы подставить На самом деле к одному узлу сетки обычно примыкает несколько конечных элементов, каждый из которых вносит вклад в матрицу жесткости (например, к узлу (рис. 1) примыкают четыре). Поэтому для каждого -узла суммарная матрица жесткости будет включать сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т. е.

в то время как узловое перемещение для всех этих элементов будет общим и определяется соответствующей компонентой вектора Сумма в берется по всем элементам, примыкающим к вершине а их может быть много. Введем вектор перемещений всех узлов сетки конечных элементов который составим из векторов перемещений каждого узла

где — число неопорных узлов сетки.

Через обозначим вектор сосредоточенных усилий во всех узлах сетки (кроме, разумеется, опорных):

Общая матрица жесткости для всей конструкции выразится в виде

и будет представлять собой симметричную (в силу теоремы Бетти) матрицу. Окончательно зависимость, связывающая усилия

и перемещения будет иметь вид

Решение уравнений (10) может быть найдено при помощи как точных, так и приближенных методов. Наиболее эффективными оказались блочный метод исключения Гаусса и метод сопряженных градиентов. Итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны.