§ 70. Теоремы для граничных интегралов

При установлении теорем, упомянутых в § 68, начнем с уравнения (а) стр. 217. Если в области вне у функция является аналитической всюду, включая бесконечность, то ее можно разложить в ряд Лорана

Постоянная не включается, поскольку она не влияет на напряжения.

На рис. 123 вычерчена окружность большого радиуса Г, концентрическая с у. Поскольку функция является аналитической в области, ограниченной контуром со стрелками, можно применить интегральную формулу Коши, получаем

где — любая точка в этой области; обозначение используется для точек, принадлежащих окружности Г, а — как и раньше, для точек на окружности у. Но первый интеграл по контуру Г равен нулю. Чтобы показать это, заметим сначала, что разложение (а) сохраняет силу на Г, если заменить на Отсюда

и так как этот ряд сходится, то функция является ограниченной. Мы можем ввести положительную постоянную С такую, что

где обозначает модуль (абсолютное значение) т. е. радиус на рис. 123. Постоянную С можно выбрать таким образом, чтобы неравенство (г) сохраняло силу для всех значений больших

Рис. 123.

некоторого значения . Например, может соответствовать наибольшему значению

Записывая

заменим каждую из величин под знаком интеграла в (д) таким образом» чтобы величина интеграла увеличилась. Сначала заменим на что в силу (г) означает увеличение этой величины. Для замены записываем

что не меняет величины этого выражения. При замене в знаменателе мы не уменьшим значения интеграла, приняв взамен величину Из треугольника, представленного на рис. 123, видно, что

Отсюда, возвращаясь к (д), получаем

Мы можем неограниченно увеличивать не меняя С, и при этом будет, разумеется, оставаться фиксированным благодаря выбору определенного значения . Предельное значение при этом, очевидно, будет равно нулю. Однако, увеличивая мы деформируем Г таким способом, который не может изменить значения интегралов в уравнении (д). Следовательно, должно обращаться в нуль, если - конечно. Теперь первый интеграл в формуле (б) можно опустить. При этом останется равенство

которое совпадает с равенством (а), § 68, что и даст требуемый результат. Покажем далее, что третий интеграл в соотношении (102) обращается в нуль, т. е. что

Поскольку должна быть аналитической повсюду вне у, включая бесконечность, она допускает разложение в ряд Лорана

где снова опущен постоянный член, не влияющий на напряженное состояние. При доказательстве нам придется рассматривать не только для точек вне окружности у, но и внутри, нее. Для ясности введем обозначения:

Таким образом, в (104) и (к) мы запишем вместо . В (к) мы можем величины справа и слева заменить сопряженными величинами. Отсюда

Этот ряд, разумеется, сходится при любых Однако при этом

где, очевидно, Следовательно, величина изображается на плоскости точкой, лежащей внутри у. Таким образом, можно представить любую внутреннюю точку Согласно уравнению (к) это означает, что мы имеем некоторую функцию равную и представляемую сходящимся рядом

Очевидно, функция является аналитической внутри у. Если обозначить теперь через координату любой точки вне 7, не совпадающую с то функция

также является аналитической внутри . Следовательно, согласно интегральной теореме Коши, ее интеграл по любому контуру внутри равен нулю. Этот контур можно совместить с , откуда

Однако поскольку . В силу этого из (н) получаем

Когда , то , и тогда ряд в совпадает с рядом в . Отсюда

Это означает, что уравнение (о) приводит к уравнению (104), что и требовалось доказать.

Мы рассматривали здесь первый и третий интегралы в уравнении (102) из § 68. Второй интеграл будет рассмотрен в § 71 для отображающей функции частного вида.