§ 87. Уравнения равновесия в перемещениях
Один из методов решения задач теории упругости состоит в исключении компонент напряжения из уравнений (123) и (124) с помощью закона Гука и в выражении компонент деформации через перемещения с использованием формул (2). Таким путем мы приходим к трем уравнениям равновесия, содержащим только три неизвестных функции 
Подставляя в первое из уравнений (123) нормальное напряжение
согласно формуле (11), касательные напряжения, определяемые из формул (6)
находим
Два других уравнения можно преобразовать подобным же образом. Затем, пользуясь символом 
(см. стр. 248), представим уравнения (123) в виде
при отсутствии массовых сил эти уравнения принимают вид
Дифференцируя первое из этих уравнений по х, второе по у и третье — по 
, а затем складывая получаемые соотношения, находим
Таким образом, объемное расширение 
должно удовлетворять дифференциальному уравнению
Тот же вывод относится и к случаю, когда объемные силы постоянны по всему объему тела.
Подставляя выражения для напряжений, определяемые по формулам вида (а) и (б), в граничные условия (124), находим
Уравнения (127) вместе с граничными условиями (130) полностью определяют три функции 
Затем по формулам можно найти компоненты деформации, и из соотношений (9) и (6) — компоненты напряжения. Применение этих уравнений будет показано в главе 14.
