§ 56. Функции напряжений, выраженные через гармонические и комплексные функции

Если — некоторая функция от х и у, то при помощи операции дифференцирования находим, что

Если - гармоническая функция, то скобка в правой части обращается в нуль. При этом функция также является гармонической, поскольку

Таким образом, повторное применение оператора Лапласа к выражению (а) дает

что можно переписать также в виде

Сравнение с уравнением (а) (стр. 53) показывает, что функция может использоваться в качестве функции напряжений, если — гармоническая функция. То же самое справедливо и в отношении функции а также, разумеется, в отношении самой функции

Путем непосредственного дифференцирования можно легко показать, что также удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению и может приниматься в качестве функции напряжений, если — гармоническая функция. Например, выбирая две гармонические функции

из функций (и) (стр. 182) и умножая их на у, получаем с помощью суперпозиции функцию напряжений (г) (стр. 70). Взяв гармонические функции (к) и (л) (стр. 182) в их первоначальном виде или умножив их на или можно построить все члены функции напряжений в полярных координатах, определяемой уравнением (80).

Вопрос о том, может ли быть получена таким образом любая функция напряжений, остается для нас открытым. Но ответ на

него будет получен сразу же в процессе выражения общей функции напряжений через две произвольные функции.

Обозначая оператор Лапласа

через , можно записать уравнение (а) на стр. 53 в виде или Обозначая через Р оператор равный а замечаем, что Р — гармоническая функция и, следовательно, должна иметь сопряженную гармоническую функцию Следовательно, - аналитическая функция от , и можно записать

Интеграл от этой функции по z представляет собой другую аналитическую функцию, скажем Тогда, обозначая действительную и мнимую части через и получаем

откуда Кроме того, получаем

Приравнивая действительные части в первом и последнем членах, находим

Поскольку - сопряженные функции, они удовлетворяют уравнениям (д) § 55, откуда

Так как то из уравнений (д) и (е) следует, что гармоническая функция; действительно,

Таким образом, для любой функции напряжений имеем

где — некоторая гармоническая функция. Следовательно,

Это соотношение показывает, что любая функция напряжений может быть образована из выбранных соответствующим образом сопряженных функций и гармонической функции

Выражение (83) весьма полезно. Заметим, однако, что использование обеих функций не обязательно. Вместо уравнения (ж)

мы можем записать

а это показывает, что функция является гармонической, скажем, равной . В силу этого любую функцию напряжений можно представить в форме

где - соответствующим образом подобранные гармонические функции.

Возвращаясь к уравнению (83), введем функцию которая является гармонической и сопряженной к и запишем

Тогда легко проверить, что действительная часть функции

тождественно равна правой части уравнения (83). Следовательно, функцию напряжений можно представить в виде

где символ обозначает «действительную часть», обозначает — соответствующим образом подобранные аналитические функции. И наоборот, при любом выборе уравнение (84) дает функцию напряжений, т. е. решение уравнения (а), стр. 53. Позже это уравнение будет применено к решению некоторых задач, представляющих практический интерес.

Записывая «комплексную функцию напряжений», содержащуюся в скобках в выражении (84), как

и учитывая, что — по-прежнему является функцией от находим, что любая функция напряжений может быть представлена в виде

где гармонические функции.