§ 3. Метод релаксации

Один из методов решения разностных уравнений типа уравнений (8) из предыдущего параграфа развил Р. В. Саусвелл, который назвал его методом релаксации. Саусвелл исходил из мембранной аналогии Л. Прандтля, которая основывается на том факте, что дифференциальное уравнение (4) для задач кручения имеет тот же вид, что и уравнение

определяющее прогиб равномерно растянутой и нагруженной в поперечном направлении мембраны. В этом уравнении через обозначен прогиб, отсчитываемый от горизонтальной плоской в начальном положении поверхности мембраны, — интенсивность распределенной нагрузки, постоянное растягивающее усилие на единицу длины контура мембраны. Задача сводится к отысканию прогибов как функции переменных х и у, которая удовлетворяет уравнению (9) в каждой точке мембраны и обращается в нуль на ее границе.

Выведем теперь соответствующее уравнение в конечных разностях. Для этой цели заменим мембрану квадратной сеткой из

равномерно растянутых нитей (рис. 1). Рассматривая точку О и обозначая через растягивающее усилие в нити, видим, что действие нитей на узел О (рис. 6) приводится к направленному вверх усилию, равному

Подобное выражение можно записать и для усилия, к которому сводится действие на узел двух других нитей Заменяя непрерывную нагрузку, действующую на мембрану, сосредоточенными силами приложенными в узлах, мы можем теперь записать уравнение равновесия узла в виде

Рис. 6.

Это и есть конечно-разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (9). Чтобы решить задачу, нам нужно найти такую систему значений прогибов до, при которой уравнение (11) будет удовлетворяться в каждом узле сетки.

Мы будем исходить из некоторых начальных значений прогибов Подставляя их в уравнение (II), как правило, получаем, что условия равновесия не удовлетворяются, и, чтобы сохранить принятые прогибы мембраны, нужно ввести в узловых точках опоры. Тогда величины

будут представлять части нагрузки, передаваемой на эти опоры. Назовем эти величины остаточными усилиями или невязками. Представим себе теперь, что опоры принадлежат к типу винтовых домкратов, так что в любой узловой точке можно вызвать любое требуемое перемещение. Тогда с помощью соответствующего выбора перемещений опор мы можем обратить в нуль все невязки (12). Такие перемещения будут представлять поправки, которые нужно добавить к принятым вначале прогибам чтобы получить истинные значения

Процедура, которой следует Саусвелл, манипулируя с перемещениями опор, подобна той, которую развил К. А. Чалышев для рам с высокой степенью статической неопределимости.

Сначала смещаем одну из опор, скажем, опору О (рис. 6), считая все другие опоры закрепленными. Из уравнений типа (11) можно видеть, что смещению опоры вниз на величину будет соответствовать вертикальная сила — действующая в узловой точке О. Знак минус показывает, что сила направлена вверх. Выбирая величину перемещения так, чтобы выполнялось требование

мы обращаем остаточное усилие (12) в нуль; на опору О больше не будет передаваться никакого давления, но в то же время давление передается на соседние опоры, и их остаточные усилия увеличатся на ту же величину. Поступая таким же образом со всеми прочими опорами и повторяя эту процедуру несколько раз, мы приведем все невязочные усилия к малым величинам, которыми можно пренебречь. Полные перемещения опор, накопленные при выполнении такой процедуры, должны быть сложены с соответствующими знаками с начальными значениями дает в сумме истинные перемещения растянутой квадратной сетки.

Чтобы упростить вычисления, требуемые при этой процедуре, приведем уравнение (11) к безразмерной форме с помощью подстановки

Таким образом, получаем

где - безразмерные величины.

Задача сводится теперь к отысканию такого набора значений чтобы уравнение (15) удовлетворялось во всех внутренних точках сетки. При этом на границе функция должна быть равна нулю. Для нахождения решения используем описанный выше способ и примем некоторые начальные значения Они не будут удовлетворять уравнениям равновесия (15), и у нас появятся невязки

которые в этом случае будут безразмерными числами.

Наша задача состоит в том, чтобы добавить к принятым значениям такие поправки, которые ликвидировали бы невязки. Добавляя к поправку мы добавляем к невязке величину а к невязкам соседних точек — величины Приняв мы устраняем невязку в узловой точке О и как-то изменим невязки в соседних точках. Действуя таким же путем во всех узлах сетки и повторяя эту процедуру

много раз, мы уменьшим остаточные усилия до пренебрежимо малых значений и, следовательно, получим с достаточной точностью значения Соответствующие значения могут быть после этого получения по формуле (14).

Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим задачу о кручении стержня квадратного сечения, уже рассмотренную ранее в § 1. В этом случае имеем дифференциальное уравнение (4). Чтобы привести его к безразмерной форме, положим

Тогда конечно-разностное уравнение (5) примет вид

Знаменатель 1000 введен в уравнение (17) с той целью, чтобы сделать достаточно большими числами, для которых в последней цифре позволительно пренебречь половиной по сравнению с единицей. Таким образом, нам придется оперировать только целыми числами. Чтобы сделать наш пример возможно более простым, начнем с грубой сетки, представленной на рис. 2. Тогда нам придется искать значения лишь для трех точек, для которых мы уже знаем точные значения (см. стр. 520). Вычертим квадратную сетку в достаточно крупном масштабе, чтобы на ней можно было записывать результаты промежуточных вычислений (рис. 7). Расчет начинается с принятых начальных значений которые мы запишем левей и выше каждой узловой точки. Значения 700, 900 и 1100 намеренно взяты несколько отличными от полученных ранее точных значений. Подставляя эти значения вместе с нулевыми значениями на границе в левую часть уравнения (18), находим остаточные усилия для всех узлов. Эти усилия записаны правее и выше каждого узла. Наибольшее остаточное усилие, равное 200, получается в центре сетки, и мы начнем процесс релаксации с этого узла. Добавляя к принятому значению 1100 поправку 50, которая записана на рисунке над числом 1100, полностью устраним невязку в центре. Поэтому вычеркиваем число 200 и ставим вместо него нуль. Теперь нам нужно изменить невязки в соседних узлах. Прибавим 50 к каждой из невязок и выпишем новое значение —50 над первоначальными значениями, как показано на рисунке. На этом заканчивается работа с центральным узлом сетки. Теперь мы имеем четыре симметрично расположенные точки с невязками, равными —50, и поправки удобно внести во все эти значения одновременно. Примем для всех этих точек одну и ту же поправку, равную —121). Эти поправки напишем над

начальным значением, равным 900,. С учетом этих поправок к предыдущим невязкам, равным —50, следует добавить величины и мы получим невязки, равные —2, как показано на рисунке. В то же время к невязкам во всех соседних точках нужно добавить остаточные усилия, равные —12. Таким образом, как легко видеть, к невязке в центре следует прибавить , а в узлах, расположенных ближе всего к углам, следует прибавить .

Рис. 7. (см. скан)

На этом заканчивается первый шаг вычислений. Второй шаг снова начинается с центрального узла, и делается поправка —12, которая устраняет невязку в этом узле и добавляет —12 к невязкам соседних точек. Обращаясь теперь к узлам вблизи углов и внося в них поправки —6, мы устраняем невязки в этих точках и делаем равными —26 невязки в четырех симметрично расположенных точках. Чтобы завершить второй шаг, введем в этих узлах поправки —6. На рисунке показаны дальнейшие поправки во всех точках, которые приводят к нулю невязки в центре и в четырех узлах, расположенных вблизи углов. Невязки в оставшихся четырех симметрично расположенных точках составляют —2, и следовательно, в этих точках вместо строгого удовлетворения (18) имеем

Невязку справа, равную —2, нужно сравнить Очевидно, эта невязка соответствует очень малому остаточному усилию. Чтобы найти значения прибавим к начальным значениям все введенные поправки. Получим

После этого формула (17) дает для следующие значения:

которые находятся в очень хорошем согласии с результатами, полученными ранее (см. стр. 520).

Как видим, метод Саусвелла дает нам физическую картину итерационного процесса решения уравнений (15), что может оказаться полезным при выборе порядка, в котором следует рассматривать узлы сетки.

Чтобы получить лучшее приближение, нам нужно перейти к более густой сетке. Используя метод, проиллюстрированный на рис. 5, мы получаем начальные значения для квадратной сетки с размером ячейки . Применяя к этим значениям стандартную процедуру релаксации, можно получить значения для более густой сетки и вычислить более точное значение максимального напряжения. Имея два значения максимального напряжения, найденные при и при , можно с помощью экстраполяции получить лучшее приближение, как это поясняется в § 1.