§ 2. Методы последовательных приближений

Из простого примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, видно, что для увеличения точности метода конечных разностей нужно переходить ко все более густым сеткам. Но тогда все более возрастает число уравнений, которые приходится решать. Решение уравнений можно намного упростить, если использовать метод последовательных приближений. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим уравнение

Согласно соотношению (5) соответствующее конечно-разностное

уравнение имеет вид

Это уравнение показывает, что истинное значение функции в узловой точке О квадратной сетки равно среднему значению функции в четырех соседних узловых точках. Используем теперь это обстоятельство для вычисления значений методом последовательных приближений. Рассмотрим сначала в качестве примера случай квадратной границы (рис. 4) и предположим, что граничные значения такие, как показано на рисунке. В силу симметрии этих значений относительно вертикальной центральной оси заключаем, что функция также симметрична относительно этой оси. Таким образом, нам нужно вычислить лишь шесть узловых значений функции Это можно легко сделать, выписав и решив шесть уравнений (7), которые в этом случае весьма просты; имеем . Можно поступить и иначе. Допустим, что функция имеет в узлах некоторые значения, например те, которые указаны вверху каждого столбца на рис. 4. Чтобы получить для лучшее приближение, воспользуемся для каждого узла равенством (7). Рассматривая точку а, примем в качестве первого приближения значение

Рис. 4.

При вычислении первого приближения для точки воспользуемся уже вычисленным значением а также условием симметрии, в силу которого Тогда из равенства (7) имеем

Производя подобные вычисления для всех внутренних узловых точек, получаем первое приближение, которое определяется вторым сверху числом в каждом столбце. Используя эти числа,

можем найти вторые приближения

Эти вторые приближения также выписаны на рис. 4; по ним можно видеть, как последовательные приближения постепенно приближаются к приведенным выше точным значениям. После десятикратного повторения этих вычислений получаем в этом случае результаты, отличающиеся от истинных значений не более чем на единицу в последней цифре. Такое приближение можно считать приемлемым.

Рис. 5.

В общем случае количество шагов вычислений, необходимое для достижения удовлетворительной точности, очень сильно зависит от выбора начальных значений функции Чем лучше начальная система значений, тем меньше труда потребуют последующие поправки.

Удобно начинать вычисления с грубой сеткой, которая имеет лишь несколько внутренних точек. Значения в этих точках можно получить с помощью прямого решения уравнений (7) или каким-либо из описанных выше итерационных приемов. После этого можно перейти к более густой сетке, показанной на рис. 5, где более грубая сетка представлена жирными линиями. Имея значения для узловых точек, показанные светлыми кружочками, и применяя формулу (7), вычисляем значения для точек, помеченных крестиками. Используя далее обе системы значений для точек, помеченных крестиками и светлыми кружочками, и применяя снова уравнение (7), получаем значения для точек, помеченных черными кружочками. Таким путем можно найти значения для всех точек более густой сетки, показанной тонкими линиями, и начать с них итерационный процесс для более густой сетки.

Вместо вычисления значений мы можем определить поправки к принятым вначале значениям функции . В этом случае

Поскольку функция удовлетворяет уравнению (6), сумма также должна удовлетворять этому уравнению, и мы получаем

На границе значения нам заданы, а это означает, что там поправки равны нулю. Таким образом, задача теперь состоит в отыскании функции удовлетворяющей уравнению (8) в каждой внутренней точке и образующейся в нуль на границе. Заменяя уравнение (8) соответствующим уравнением в конечных разностях, получаем для каждой точки О квадратной сетки (рис. 1)

Правую часть этого уравнения можно определить для любой внутренней узловой точки с использованием принятых значений для функции Таким образом, задача определения поправок для функции сводится к решению системы уравнений, подобных уравнениям (5) из предыдущего параграфа, а это решение можно получить методом итераций.