§ 5. Компоненты деформаций

При рассмотрении деформаций упругого тела будем предполагать, что имеется достаточное количество связей, которые препятствуют движению тела как жесткого целого, в силу чего перемещения частиц тела невозможны без его деформации.

В этой книге будут рассматриваться только обычно возникающие в инженерных конструкциях малые деформации. Прежде

всего разложим перемещения частиц деформированного тела на компоненты параллельные соответственно координатным осям Будем считать, что эти компоненты являются вэсьма малыми величинами, меняющимися непрерывно по объему тела. Рассмотрим малый элемент упругого тела (рис. 5). Если тело подвергается деформации — компоненты перемещения в точке Р, то перемещение в направлении соседней точки А, расположенной на оси х, с точностью до величин первого порядка по имеет вид

ввиду возрастания функции и на величину с увеличением координаты Увеличение длины элемента вызванное деформацией, равно

Таким образом, относительное удлинение в точке Р в направлении х составляет

Рис. 5.

Рис. 6.

Таким же путем можно показать, что относительные удлинения в направлениях у и определяются производными . Рассмотрим теперь изменение угла между элементами (рис. 6). Если и и — перемещения точки Р в направлениях х и у, то перемещения точки А в Направлении у и точки В в направлении а: равны соответственно . В результате этих перемещений новое направление элемента образует, как показано на чертеже, с начальным направлением малый угол Точно так же направление повернуто по отношению к на малый угол Отсюда видно, что первоначально прямой угол между двумя элементами и уменьшился на величину Это величина представляет собой деформацию сдвига между плоскостями Таким же путем можно получить деформации сдвига между плоскостями а также между плоскостями

Через мы будем обозначать относительное удлинение, а через у — относительную деформацию сдвига. Для указания направлений деформации будем использовать те же индексы, что

и для компонент напряжения. Тогда из приведенных выше рассуждений следует, что

Позже мы покажем, что, зная три относительных удлинения в трех перпендикулярных направлениях и три относительные деформации сдвига, отнесенные к тем же направлениям, можно найти удлинение в любом направлении и изменение угла между любыми двумя направлениями (см. § 81). Шесть величин называются компонентами деформации.