§ 115. Кручение полых валов

До сих пор наши рассуждения относились к валам, поперечные сечения которых ограничивались одной кривой. Рассмотрим теперь полые валы, границы поперечных сечений которых состоят из двух (и более) контуров. Простейшая задача такого рода касается круглого вала, внутренняя граница которого совпадает с одной из траекторий напряжений (см. стр. 310) сплошного вала, имеющего ту же внешнюю границу, что и полый вал.

Рассмотрим, например, эллиптическое поперечное сечение (рис. 153). Функция наряжений для сплошного вала имеет вид

Кривая

является эллипсом, который геометрически подобен внешней границе поперечного сечения. Вдоль этого эллипса функция напряжений остается постоянной; следовательно, при меньших единицы, этот эллипс является траекторией напряжений для сплошного эллиптического вала. Представим теперь эллиптическую поверхность, порождаемую этой траекторией напряжений, с. осью, параллельной оси вала. Тогда из сделанного выше вывода относительно направления касательных напряжений следует, что в направлении, нормальном к этой цилиндрической поверхности, напряжения действовать не будут. Мы можем поэтому считать, что часть материала, ограниченная этой цилиндрической поверхностью, удалена без изменения распределения напряжений во внешней части вала. Следовательно, функция напряжений в форме (а) применима и к полому валу.

Для заданного угла закручивания 0 напряжения в полом валу будут такими же, как и в сплошном валу. Однако крутящий момент будет меньше на величину, которая в случае сплошного вала приходится на часть поперечного сечения, которую заняло отверстие. Из уравнения (156) мы видим, что эта часть

находится в отношении к полному крутящему моменту. Следовательно, для полого вала вместо выражения (156) будем иметь

и для функции напряжений (а) получаем

Формула для максимального касательного напряжения принимает вид

Согласно мембранной аналогии средняя часть мембраны, соответствующая отверстию в валу (рис. 171), должна быть заменена горизонтальной пластинкой

Отметим, что равномерное давление, расп ределенное по части мембраны, статически эквивалентно давлению той же величины, равномерно распределенному по пластинке а растягивающие усилия в мембране, действующие вдоль границы этой пластинки, находятся в равновесии с равномерной нагрузкой на пластинке. Следовательно, в рассматриваемом случае может использоваться тот же экспериментальный метод с мыльной пленкой, что и раньше, так как замена части мембраны пластинкой не вызывает изменений в конфигурации и в условиях равновесия остальной части мембраны. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда границы отверстия уже не являются траекториями напряжений для сплошного вала. Из общей теории кручения мы знаем (см. § 104), что вдоль каждой границы функция напряжений должна быть постоянной, однако эти постоянные не могут выбираться произвольно. При рассмотрении многосвязных границ в двумерных задачах было показано, что в подобных случаях необходимо обращаться к выражениям для перемещений, и постоянные интегрирования следует подбирать таким образом, чтобы эти выражения становились однозначными. Аналогичная процедура необходима и по отношению к задачам о кручении полых валов. Постоянные значения функции напряжений вдоль границ следует определять таким образом, чтобы перемещения были однозначными. Тогда будет получено достаточное число уравнений для определения

Рис. 171.

этих постоянных. Из соотношений (б) и (г) § 104 имеем

Теперь вычислим интеграл

вдоль каждой границы. Используя формулы (в) и разлагая полное напряжение на компоненты, находим

Первый интеграл должен обращаться в нуль из условия, что интегрирование производится по замкнутой кривой и что является однозначной функцией. Отсюда

Интеграл в правой части равен удвоенной площади А области, заключенной внутри контура. Следовательно,

Таким образом, мы должны определить постоянные значения функции напряжений вдоль границ отверстий так, чтобы для каждой границы удовлетворялось уравнение (175).

Для любой замкнутой кривой, проведенной внутри поперечного сечения и целиком лежащей внутри материала, первый и второй интегралы (174) представляют собой линейный интеграл от тангенциальной компоненты касательного напряжения взятого вдоль кривой, и по аналогии с циркуляцией в гидродинамике, его можно назвать циркуляцией касательных напряжений. Тогда соотношение (175) сохраняет силу и его можно назвать теоремой о циркуляции касательных напряжений.

Значение формулы (175) для мембранной аналогии рассматривалось на стр. 312. Оно показывает, что в мембране уровень каждой пластинки, такой, как пластинка (рис. 171), должен выбираться так, чтобы вертикальная нагрузка на пластинку была равна по величине и противоположна по знаку вертикальной компоненте результирующей растягивающих усилий, с которыми мембрана действует на пластинку. Если границы отверстия совпадают с траекториями напряжений для соответствующего сплошного вала, вышеприведенного условия достаточно, чтобы обеспечить равновесие пластинок. В общем случае этого условия недостаточно, и для удержания пластинки в равновесии в

горизонтальном положении приходится прибегать к специальным направляющим приспособлениям. Это усложняет эксперименты с мыльными пленками для круглых валов.

Чтобы устранить это затруднение, можно воспользоваться следующим приемом. В пластинке проделывается отверстие, соответствующее внешней границе сечения. Каждый из внутренних контуров, отвечающих полостям вала, устанавливается на вертикальной скользящей каретке, так что высоту ее можно легко менять. Принимая эти высоты произвольно и натягивая на границах пленку, получаем поверхность, которая удовлетворяет уравнению (150) и граничным условиям (152), но уравнение (175) в общем случае не будет удовлетворено, и пленка не будет представлять распределения напряжений в полом валу. Повторяя этот эксперимент столько раз, сколько имеется контуров, и каждый раз проводя измерения на пленке, мы получаем доста точно информации, чтобы определить истинные значения уровней внутренних границ и, наконец, натягиваем пленку нужным нам образом. Это доказывается следующим образом: если — число контуров, и поверхности пленки, полученные при различных положениях кареток, то функция

где — численные коэффициенты, также является решением уравнения (150), когда

Теперь, учитывая, что касательное напряжение равно наклону мембраны, и подставляя выражение (д) в уравнения (175), получаем уравнений вида

из которых можно получить коэффициенты как функции от .

Затем из (д) находится истинная функция напряжений 2). Этот метод был применен Гриффитсом и Тейлором для определения напряжений в полом круглом валу, имеющем вырез. Таким путем было показано, что максимальное напряжение можно значительно уменьшить, тем самым повысив прочность вала, если расположить полость эксцентрично.

Крутящий момент для вала с одним или несколькими отверстиями можно получить, определяя удвоенный объем, заключенный между мембраной и пластинкой. Чтобы убедиться в этом, вычислим крутящий момент, вызываемый касательными напряжениями, распределенными по элементарному кольцу между двумя соседними траекториями напряжений, как показано на рис. 171, который теперь представляет произвольное полое сечение. Обозначая через переменную ширину кольца и рассматривая заштрихованный на рисунке элемент, получаем, что касательное усилие,

действующее на элемент, равно а его момент относительно точки О есть Тогда момент для элементарного кольца относительно той же точки равен

где интегрирование производится по всей длине кольца. Обозначив через А площадь, ограниченную кольцом, и учитывая, что — наклон мембраны, в силу чего представляет собой разность уровней для двух смежных контурных линий, из (е) находим

т. е. крутящий момент, соответствующий элементарному кольцу, определяется заштрихованным на рисунке удвоенным объемом его. Полный момент определяется суммой этих объемов, т. е. объемом между мембраной и и плоской пластинкой . Подобный вывод можно сделать и для случая нескольких отверстий.